ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{\sin (a+\beta )+\sin (a-\beta )}{\cos (a+\beta )+\cos (a-\beta )}=\mathrm{tg}a;$$

б)

$$\frac{\cos (a-\beta )-\cos (a+\beta )}{\sin (a+\beta )-\sin (a-\beta )}=\mathrm{tg}a$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)}{\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)} = \tg a;$$ $$\frac{2 \sin \frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2} \cdot \cos \frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}}{2 \cos \frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2} \cdot \cos \frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}} = \tg a;$$ $$\frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\cos a \cdot \cos \beta} = \tg a;$$ $$\tg a = \tg a;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)} = \tg a;$$ $$\frac{-2 \sin \frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2} \cdot \sin \frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2}}{2 \sin \frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2} \cdot \cos \frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}} = \tg a;$$ $$\frac{-\sin(-\beta) \cdot \sin a}{\sin \beta \cdot \cos a} = \tg a;$$ $$\frac{\sin a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \sin \beta} = \tg a;$$ $$\tg a = \tg a;$$

Тождество доказано.

а)

$$\frac{\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)}{\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)} = \tg a$$

Шаг 1: Формулы суммы синусов и косинусов

Мы используем стандартные тригонометрические формулы:

• Сумма синусов:

  $$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

• Сумма косинусов:

  $$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Шаг 2: Применим формулы к числителю и знаменателю

• Числитель:

  $$\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) = 2 \sin\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right)$$

  Упрощаем:

  $$\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2} = \frac{2a}{2} = a,\quad \frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta$$

  Тогда:

  $$= 2 \sin a \cdot \cos \beta$$

• Знаменатель:

  $$\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta) = 2 \cos\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right)$$

  Аналогично:

  $$= 2 \cos a \cdot \cos \beta$$

Шаг 3: Подставим в дробь

$$\frac{2 \sin a \cdot \cos \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta}$$

Сократим на $2 \cos \beta$:

$$= \frac{\sin a}{\cos a} = \tg a$$

Тождество доказано

б)

$$\frac{\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)} = \tg a$$

Шаг 1: Формулы разности косинусов и синусов

Используем:

• Разность косинусов:

  $$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

• Разность синусов:

  $$\sin A — \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Шаг 2: Применим формулы

• Числитель:

  $$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = -2 \sin\left(\frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2}\right)$$

  Упрощаем:

  $$\frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2} = \frac{2a}{2} = a,\quad \frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2} = \frac{-2\beta}{2} = -\beta$$

  Тогда:

  $$= -2 \sin a \cdot \sin(-\beta) = 2 \sin a \cdot \sin \beta$$

  (поскольку $\sin(-\beta) = -\sin \beta$)

• Знаменатель:

  $$\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta) = 2 \cos\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right)$$

  Упрощаем:

  $$\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2} = a,\quad \frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2} = \beta$$

  Тогда:

  $$= 2 \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 3: Подставим в дробь

$$\frac{2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \sin \beta}$$

Сократим на $2 \sin \beta$:

$$= \frac{\sin a}{\cos a} = \tg a$$

Тождество доказано