ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а)

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 4 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2};$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$(\sin x + \sin y) + \sin(x — y) =$$ $$= 2 \sin\frac{x + y}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2} + 2 \sin\frac{x — y}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2} =$$ $$= 2 \cos\frac{x — y}{2} \cdot \left(\sin\frac{x + y}{2} + \sin\frac{x — y}{2}\right) =$$ $$= 2 \cos\frac{x — y}{2} \cdot 2 \sin\frac{2x}{2 \cdot 2} \cdot \cos\frac{2y}{2 \cdot 2} = 4 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{y}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2};$$

Тождество неверно.

б)

$$\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = tg 2x;$$ $$\frac{(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x}{(\cos 3x + \cos x) + \cos 2x} = tg 2x;$$ $$\frac{2 \sin 2x \cdot \cos x + \sin 2x}{2 \cos 2x \cdot \cos x + \cos 2x} = tg 2x;$$ $$\frac{\sin 2x \cdot (2 \cos x + 1)}{\cos 2x \cdot (2 \cos x + 1)} = tg 2x;$$ $$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = tg 2x;$$ $$tg 2x = tg 2x;$$

Тождество доказано.

а)

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 4 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2}$$

Шаг 1: Группировка слагаемых

Сгруппируем левую часть:

$$(\sin x + \sin y) + \sin(x — y)$$

Шаг 2: Применим формулу суммы синусов

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим к $\sin x + \sin y$:

$$\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x — y}{2}\right)$$

Шаг 3: Применим формулу для $\sin(x — y)$

Второе слагаемое оставим пока без изменений:

$$\sin (x-y)=2\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$$

$$\sin(x — y) = 2 \sin\left(\frac{x — y}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x — y}{2}\right) \quad \text{(используем формулу двойного угла «в обратную сторону»)}$$

Таким образом, вся левая часть становится:

$$2 \sin\frac{x + y}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2} + 2 \sin\frac{x — y}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2}$$

Шаг 4: Вынесем общий множитель

У обоих слагаемых есть $\cos\frac{x — y}{2}$, вынесем его за скобки:

$$= 2 \cos\frac{x — y}{2} \cdot \left(\sin\frac{x + y}{2} + \sin\frac{x — y}{2} \right)$$

Шаг 5: Преобразуем выражение в скобках

Теперь преобразуем:

$$\sin\frac{x + y}{2} + \sin\frac{x — y}{2}$$

Снова применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Где:

• $A = \frac{x + y}{2}$,
• $B = \frac{x — y}{2}$

Тогда:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{x}{2}$,
• $\frac{A — B}{2} = \frac{y}{2}$

Получаем:

$$\sin\frac{x + y}{2} + \sin\frac{x — y}{2} = 2 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{y}{2}$$

Шаг 6: Подставим обратно

Подставим в общее выражение:

$$2 \cos\frac{x — y}{2} \cdot \left(2 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{y}{2}\right)$$

Шаг 7: Преобразуем итоговое выражение

$$= 4 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{y}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2}$$

Шаг 8: Сравниваем с правой частью

Правая часть тождества:

$$4 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2}$$

Отличие:

• В преобразованной левой части стоит $\cos\frac{y}{2}$,
• В правой части — $\cos\frac{x}{2}$

Вывод:

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 4 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{y}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2} \neq 4 \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x — y}{2}$$

Тождество неверно.

б)

$$\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \tg 2x$$

Шаг 1: Группировка — по краям и в центр

$$\frac{(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x}{(\cos 3x + \cos x) + \cos 2x}$$

Шаг 2: Используем формулы суммы синусов и косинусов

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$ $$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим к:

• $\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x \cdot \cos x$
• $\cos 3x + \cos x = 2 \cos 2x \cdot \cos x$

Шаг 3: Подставим всё обратно

Числитель:

$$(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = 2 \sin 2x \cdot \cos x + \sin 2x$$

Знаменатель:

$$(\cos 3x + \cos x) + \cos 2x = 2 \cos 2x \cdot \cos x + \cos 2x$$

Шаг 4: Вынесем общий множитель

Числитель:

$$\sin 2x \cdot (2 \cos x + 1)$$

Знаменатель:

$$\cos 2x \cdot (2 \cos x + 1)$$

Шаг 5: Сокращаем дробь

$$\frac{\sin 2x \cdot (2 \cos x + 1)}{\cos 2x \cdot (2 \cos x + 1)} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$$

Шаг 6: По определению тангенса

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tg 2x$$

Тождество доказано.