ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) cos15° + cos45°;

6) cos46° — cos74°;

в) cos20° + cos40°;

г) cos75° — cos15°.

Представить в виде произведения:

а)

$$\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos \frac{45^\circ + 15^\circ}{2} \cdot \cos \frac{45^\circ — 15^\circ}{2} =$$ $$= 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 15^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 15^\circ = \sqrt{3} \cos 15^\circ;$$

б)

$$\cos 46^\circ — \cos 74^\circ = -2 \sin \frac{46^\circ + 74^\circ}{2} \cdot \sin \frac{46^\circ — 74^\circ}{2} =$$ $$= -2 \sin 60^\circ \cdot \sin(-14^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 14^\circ = \sqrt{3} \sin 14^\circ;$$

в)

$$\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos \frac{40^\circ + 20^\circ}{2} \cdot \cos \frac{40^\circ — 20^\circ}{2} =$$ $$= 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 10^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 10^\circ = \sqrt{3} \cos 10^\circ;$$

г)

$$\cos 75^\circ — \cos 15^\circ = -2 \sin \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cdot \sin \frac{75^\circ — 15^\circ}{2} =$$ $$= -2 \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Используемые формулы:

Сумма косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Разность косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

а)

$$\cos 15^\circ + \cos 45^\circ$$

Шаг 1: определим A и B

$$A = 15^\circ,\quad B = 45^\circ$$

Шаг 2: используем формулу суммы косинусов

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Шаг 3: найдём полу-сумму и полу-разность

$$\frac{A + B}{2} = \frac{15^\circ + 45^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{15^\circ — 45^\circ}{2} = \frac{-30^\circ}{2} = -15^\circ$$

Но:

$$\cos(-15^\circ) = \cos(15^\circ) \quad \text{(так как косинус — чётная функция)}$$

Шаг 4: подставим

$$\cos 15^\circ + \cos 45^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 15^\circ$$ $$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 15^\circ = \sqrt{3} \cos 15^\circ$$

Ответ (а):

$$\boxed{\sqrt{3} \cos 15^\circ}$$

б)

$$\cos 46^\circ — \cos 74^\circ$$

Шаг 1: определим A и B

$$A = 46^\circ,\quad B = 74^\circ$$

Шаг 2: используем формулу разности косинусов

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Шаг 3: найдём полу-сумму и полу-разность

$$\frac{A + B}{2} = \frac{46^\circ + 74^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{46^\circ — 74^\circ}{2} = \frac{-28^\circ}{2} = -14^\circ$$

Шаг 4: подставим в формулу

$$\cos 46^\circ — \cos 74^\circ = -2 \sin 60^\circ \cdot \sin(-14^\circ)$$ $$\sin(-14^\circ) = -\sin 14^\circ \quad \text{(синус — нечётная функция)}$$ $$= -2 \cdot \sin 60^\circ \cdot (-\sin 14^\circ) = 2 \cdot \sin 60^\circ \cdot \sin 14^\circ$$ $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 14^\circ = \sqrt{3} \sin 14^\circ$$

Ответ (б):

$$\boxed{\sqrt{3} \sin 14^\circ}$$

в)

$$\cos 20^\circ + \cos 40^\circ$$

Шаг 1: определим A и B

$$A = 20^\circ,\quad B = 40^\circ$$

Шаг 2: используем формулу суммы косинусов

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Шаг 3: найдём полу-сумму и полу-разность

$$\frac{A + B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{-20^\circ}{2} = -10^\circ \Rightarrow \cos(-10^\circ) = \cos 10^\circ$$

Шаг 4: подставим

$$\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos 30^\circ \cdot \cos 10^\circ$$ $$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos 10^\circ = \sqrt{3} \cos 10^\circ$$

Ответ (в):

$$\boxed{\sqrt{3} \cos 10^\circ}$$

г)

$$\cos 75^\circ — \cos 15^\circ$$

Шаг 1: определим A и B

$$A = 75^\circ,\quad B = 15^\circ$$

Шаг 2: используем формулу разности косинусов

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Шаг 3: найдём полу-сумму и полу-разность

$$\frac{A + B}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

Шаг 4: подставим

$$\cos 75^\circ — \cos 15^\circ = -2 \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ$$ $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$ $$= -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ (г):

$$\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\sqrt{3} \cos 15^\circ}$

б) $\boxed{\sqrt{3} \sin 14^\circ}$

в) $\boxed{\sqrt{3} \cos 10^\circ}$

г) $\boxed{{\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}}}$