ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях $x$ числа $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию, если:

а) $a = \cos 7x$, $b = \cos 2x$, $c = \cos 11x$;

По свойству арифметической прогрессии:

$$2b = a + c;$$ $$2 \cos 2x = \cos 11x + \cos 7x;$$ $$2 \cos 2x = 2 \cos 9x \cdot \cos 2x;$$ $$2 \cos 2x — 2 \cos 9x \cdot \cos 2x = 0;$$ $$2 \cos 2x \cdot (1 — \cos 9x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$1 — \cos 9x = 0;$$ $$\cos 9x = 1;$$ $$9x = 2\pi n;$$ $$x = \frac{2\pi n}{9};$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{2\pi n}{9}$.

б) $a = \sin 3x$, $b = \cos x$, $c = \sin 5x$;

По свойству арифметической прогрессии:

$$2b = a + c;$$ $$2 \cos x = \sin 5x + \sin 3x;$$ $$2 \cos x = 2 \sin 4x \cdot \cos x;$$ $$2 \cos x — 2 \sin 4x \cdot \cos x = 0;$$ $$2 \cos x \cdot (1 — \sin 4x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$1 — \sin 4x = 0;$$ $$\sin 4x = 1;$$ $$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

а) $a = \cos 7x$, $b = \cos 2x$, $c = \cos 11x$

Шаг 1. Условие арифметической прогрессии

Три числа $a, b, c$ находятся в арифметической прогрессии, если:

$$2b = a + c$$

Подставим значения из условия:

$$2 \cos 2x = \cos 7x + \cos 11x$$

Шаг 2. Используем формулу суммы косинусов

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим к $\cos 7x + \cos 11x$:

• $A = 11x$, $B = 7x$
• $\frac{A + B}{2} = \frac{18x}{2} = 9x$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$

Тогда:

$$\cos 7x + \cos 11x = 2 \cos 9x \cdot \cos 2x$$

Шаг 3. Подставим в исходное уравнение

$$2 \cos 2x = 2 \cos 9x \cdot \cos 2x$$

Вычтем правую часть из левой:

$$2 \cos 2x — 2 \cos 9x \cdot \cos 2x = 0$$

Шаг 4. Вынесем общий множитель

$$2 \cos 2x \cdot (1 — \cos 9x) = 0$$

Шаг 5. Произведение равно нулю ⇒ каждый множитель приравниваем к нулю

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0$$

Значения, при которых $\cos\theta = 0$:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Второе уравнение:

$$1 — \cos 9x = 0 \Rightarrow \cos 9x = 1$$

Решаем уравнение:

$$9x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим на 9:

$$x = \frac{2\pi n}{9}$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{2\pi n}{9}}$$

б) $a = \sin 3x$, $b = \cos x$, $c = \sin 5x$

Шаг 1. Условие арифметической прогрессии

$$2b = a + c$$

Подставим:

$$2 \cos x = \sin 3x + \sin 5x$$

Шаг 2. Используем формулу суммы синусов

Формула:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим к $\sin 3x + \sin 5x$:

• $A = 5x$, $B = 3x$
• $\frac{A + B}{2} = 4x$
• $\frac{A — B}{2} = x$

Получаем:

$$\sin 3x + \sin 5x = 2 \sin 4x \cdot \cos x$$

Шаг 3. Подставим в исходное уравнение

$$2 \cos x = 2 \sin 4x \cdot \cos x$$

Вычтем правую часть:

$$2 \cos x — 2 \sin 4x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 4. Вынесем общий множитель

$$2 \cos x \cdot (1 — \sin 4x) = 0$$

Шаг 5. Приравниваем множители к нулю

Первое уравнение:

$$\cos x = 0$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Второе уравнение:

$$1 — \sin 4x = 0 \Rightarrow \sin 4x = 1$$ $$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Делим обе части на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2}}}$$