ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $\sin 3x = \cos 2x$;

б) $\sin(5\pi — x) = \cos(2x + 7\pi)$;

в) $\cos 5x = \sin 15x$;

r) $\sin(7\pi + x) = \cos(9\pi + 2x)$

Решить уравнение:

a) $\sin 3x = \cos 2x$;

$\sin 3x — \cos 2x = 0$;

$\sin 3x — \sin\left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) = 0$;

$2 \sin\frac{5x — \pi}{2} \cdot \cos\frac{x + \pi}{2} = 0$;

$\sin\left(\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin\left(\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n$;

$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{2\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$;

Второе уравнение:

$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$.

б) $\sin(5\pi — x) = \cos(2x + 7\pi)$;

$\sin(\pi — x) = \cos(2x + \pi)$;

$\sin x = -\cos 2x$;

$\sin x + \cos 2x = 0$;

$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) + \cos 2x = 0$;

$2 \cos\frac{\pi + x}{2} \cdot \cos\frac{\pi — 3x}{2} = 0$;

$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\cos\left(\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$\frac{3x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$.

в) $\cos 5x = \sin 15x$;

$\sin 15x — \cos 5x = 0$;

$\cos\left(\frac{\pi}{2} — 15x\right) — \cos 5x = 0$;

$-2 \sin\frac{\frac{\pi}{2} — 10x}{2} \cdot \sin\frac{\frac{\pi}{2} — 20x}{2} = 0$;

$\sin\left(5x — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(10x — \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin\left(5x — \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$5x — \frac{\pi}{4} = \pi n$;

$5x = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$;

Второе уравнение:

$\sin\left(10x — \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$10x — \frac{\pi}{4} = \pi n$;

$10x = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}$;

Ответ: $\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}; \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}$.

г) $\sin(7\pi + x) = \cos(9\pi + 2x)$;

$\sin(\pi + x) = \cos(\pi + 2x)$;

$-\sin x = -\cos 2x$;

$\cos 2x — \sin x = 0$;

$\cos 2x — \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = 0$;

$-2 \sin\frac{3x — \pi}{2} \cdot \sin\frac{x + \pi}{2} = 0$;

$\sin\left(\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

Первое уравнение:

$\sin\left(\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n$;

$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$;

Второе уравнение:

$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi n$;

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

а) Уравнение:

$$\sin 3x = \cos 2x$$

Шаг 1. Преобразуем к одинаковой функции

Используем:

$$\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} — \theta \right)$$

Тогда:

$$\sin 3x = \sin\left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) \Rightarrow \sin 3x — \sin\left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 0$$

Шаг 2. Формула разности синусов

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 3x$, $B = \frac{\pi}{2} — 2x$
• $\frac{A + B}{2} = \frac{3x + \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} = \frac{x + \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{3x — \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} = \frac{5x — \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4}$

Тогда:

$$\sin 3x — \sin\left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 2 \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin\left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 3. Приравниваем к нулю

$$2 \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin\left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Решения:

1) $\sin\left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0$

$$\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n \Rightarrow \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} \Rightarrow x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}$$

2) $\cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0$

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5};\quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n}$$

б) Уравнение:

$$\sin(5\pi — x) = \cos(2x + 7\pi)$$

Шаг 1. Упростим выражения с периодами

$$\sin(5\pi — x) = \sin(\pi — x) \Rightarrow \sin x$$ $$\cos(2x + 7\pi) = \cos(2x + \pi) = -\cos 2x$$

Тогда:

$$\sin x = -\cos 2x \Rightarrow \sin x + \cos 2x = 0$$

Шаг 2. Перепишем $\sin x$ как $\cos(\frac{\pi}{2} — x)$

$$\cos\left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \cos 2x = 0$$

Шаг 3. Сумма косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = \frac{\pi}{2} — x$, $B = 2x$

$$\frac{A + B}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} + x}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} — 3x}{2} = \frac{\pi}{4} — \frac{3x}{2}$$

Тогда:

$$2 \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos\left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Шаг 4. Решаем два уравнения

1) $\cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0$

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

2) $\cos\left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0$

$$\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow \frac{3x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ (б):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}}$$

в) Уравнение:

$$\cos 5x = \sin 15x$$

Шаг 1. Преобразуем синус

$$\sin 15x = \cos\left( \frac{\pi}{2} — 15x \right)$$

Уравнение:

$$\cos\left( \frac{\pi}{2} — 15x \right) — \cos 5x = 0$$

Шаг 2. Разность косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = \frac{\pi}{2} — 15x$, $B = 5x$

$$\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4} — 5x,\quad \frac{A — B}{2} = \frac{\pi}{4} — 10x$$

Тогда:

$$-2 \sin\left(5x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin\left(10x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Шаг 3. Приравниваем к нулю каждую скобку

1) $\sin\left(5x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$

$$5x = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$$

2) $\sin\left(10x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$

$$10x = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}$$

Ответ (в):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5};\quad x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}}$$

г) Уравнение:

$$\sin(7\pi + x) = \cos(9\pi + 2x)$$

Шаг 1. Упростим:

$$\sin(7\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin x$$ $$\cos(9\pi + 2x) = \cos(\pi + 2x) = -\cos 2x$$ $$-\sin x = -\cos 2x \Rightarrow \cos 2x = \sin x \Rightarrow \cos 2x — \sin x = 0$$

Шаг 2. Снова представим $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} — x)$

$$\cos 2x — \cos\left( \frac{\pi}{2} — x \right) = 0$$

Шаг 3. Разность косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 2x$, $B = \frac{\pi}{2} — x$

$$\frac{A + B}{2} = \frac{3x}{2} + \frac{\pi}{4};\quad \frac{A — B}{2} = \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4}$$

Итак:

$$-2 \sin\left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Шаг 4. Решим два уравнения

1) $\sin\left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0$

$$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

2) $\sin\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0$

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ (r):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi n}{3};x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n}}$$