ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\tg x + \tg 5x = 0$;

б) $\tg 3x = \ctg x$;

в) $\tg 2x = \tg 4x$;

г) $\ctg \frac{x}{2} + \ctg \frac{3x}{2} = 0$

Решить уравнение:

а) $\tg x + \tg 5x = 0$;

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = 0;$$ $$\frac{\sin x \cdot \cos 5x + \cos x \cdot \sin 5x}{\cos x \cdot \cos 5x} = 0;$$ $$\sin(x + 5x) = 0;$$ $$\sin 6x = 0;$$ $$6x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{6};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \ne 0;$$ $$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos 5x \ne 0;$$ $$5x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \ne \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5};$$

Ответ: $\frac{\pi n}{6},\;\; x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, ;

б) $\tg 3x = \ctg x$;

$$\ctg x — \tg 3x = 0;$$ $$\frac{\cos x}{\sin x} — \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 0;$$ $$\frac{\cos 3x \cdot \cos x — \sin 3x \cdot \sin x}{\sin x \cdot \cos 3x} = 0;$$ $$\cos(3x + x) = 0;$$ $$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \ne 0;$$ $$x \ne \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos 3x \ne 0;$$ $$3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $\frac{\pi n}{6},\;\; x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, .

в) $\tg 2x = \tg 4x$;

$$\tg 4x — \tg 2x = 0;$$ $$\frac{\sin 4x}{\cos 4x} — \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 0;$$ $$\frac{\sin 4x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos 4x}{\cos 2x \cdot \cos 4x} = 0;$$ $$\sin(4x — 2x) = 0;$$ $$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos 2x \ne 0;$$ $$2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos 4x \ne 0;$$ $$4x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}$, $\frac{\pi n}{6},\;\; x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, .

г) $\ctg \frac{x}{2} + \ctg \frac{3x}{2} = 0$;

$$\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} + \frac{\cos\frac{3x}{2}}{\sin\frac{3x}{2}} = 0;$$ $$\frac{\sin\frac{3x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} + \cos\frac{3x}{2} \cdot \sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2} \cdot \sin\frac{3x}{2}} = 0;$$ $$\sin\left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}\right) = 0;$$ $$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin\frac{x}{2} \ne 0;$$ $$\frac{x}{2} \ne \pi n;$$ $$x \ne 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin\frac{3x}{2} \ne 0;$$ $$\frac{3x}{2} \ne \pi n;$$ $$x \ne \frac{2\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n;\;\; \pi + 2\pi n$.

а) Уравнение:

$$\tg x + \tg 5x = 0$$

1. Область определения (ОДЗ):

• $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, определена при $\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$
• $\tg 5x = \frac{\sin 5x}{\cos 5x} \Rightarrow \cos 5x \ne 0 \Rightarrow 5x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$

2. Основное уравнение:

$$\tg x + \tg 5x = 0$$

Общий знаменатель:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = \frac{\sin x \cos 5x + \cos x \sin 5x}{\cos x \cos 5x}$$

Числитель:

$$\sin x \cos 5x + \cos x \sin 5x = \sin(x + 5x) = \sin 6x$$

Получаем:

$$\frac{\sin 6x}{\cos x \cos 5x} = 0 \Rightarrow \sin 6x = 0$$

3. Решение:

$$\sin 6x = 0 \Rightarrow 6x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{6}$$

4. Учет ОДЗ:

• $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$
• $x \ne \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$

5. Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{6}, \quad x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n,\; x \ne \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}}$$

б) Уравнение:

$$\tg 3x = \ctg x$$

1. ОДЗ:

• $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} \Rightarrow \sin x \ne 0 \Rightarrow x \ne \pi n$
• $\tg 3x = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \Rightarrow \cos 3x \ne 0 \Rightarrow 3x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$

2. Основное уравнение:

$$\tg 3x = \ctg x \Rightarrow \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Общий знаменатель:

$$\frac{\sin 3x \cdot \sin x — \cos x \cdot \cos 3x}{\cos 3x \cdot \sin x} = 0$$

Числитель:

$$\sin 3x \sin x — \cos x \cos 3x = -\cos(3x + x) = -\cos 4x$$ $$-\cos 4x = 0 \Rightarrow \cos 4x = 0$$

3. Решение:

$$\cos 4x = 0 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

4. Учет ОДЗ:

• $x \ne \pi n$
• $x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$

5. Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x \ne \pi n, \; x \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}}$$

в) Уравнение:

$$\tg 2x = \tg 4x$$

1. ОДЗ:

• $\cos 2x \ne 0 \Rightarrow 2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$
• $\cos 4x \ne 0 \Rightarrow 4x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$

2. Решение:

Из $\tg A = \tg B \Rightarrow A = B + \pi n$:

$$2x = 4x + \pi n \Rightarrow -2x = \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi n}{2}$$

Можно заменить $n \to -n$, чтобы ответ был в положительном виде:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

3. Проверка ОДЗ:

• $\cos 2x = \cos(\pi n) = (-1)^n \ne 0$
• $\cos 4x = \cos(2\pi n) = 1$

Обе функции определены для всех целых $n$

4. Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{2}, \quad x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}}$$

г) Уравнение:

$$\ctg\frac{x}{2} + \ctg\frac{3x}{2} = 0$$

1. ОДЗ:

• $\ctg\frac{x}{2} = \frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \Rightarrow \sin\frac{x}{2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\pi n$
• $\ctg\frac{3x}{2} \Rightarrow \sin\frac{3x}{2} \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{2\pi n}{3}$

2. Основное уравнение:

$$\ctg\frac{x}{2} + \ctg\frac{3x}{2} = \frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} + \frac{\cos\frac{3x}{2}}{\sin\frac{3x}{2}} = 0$$

Общий числитель:

$$\cos\frac{x}{2} \sin\frac{3x}{2} + \cos\frac{3x}{2} \sin\frac{x}{2} = \sin\left(2x\right)$$ $$\Rightarrow \frac{\sin 2x}{\sin\frac{x}{2} \cdot \sin\frac{3x}{2}} = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0$$

3. Решение:

$$\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

4. Учет ОДЗ:

• $x \ne 2\pi n$
• $x \ne \frac{2\pi n}{3}$

5. Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{2}, \quad x \ne 2\pi n,\; x \ne \frac{2\pi n}{3}}$$

или, выделив допустимые частные решения:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n\text{и}x=\pi +2\pi n}}$$