ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти корни уравнения, принадлежащие интервалу $(0;\; 2{,}5)$:

а)

$$\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x$$ $$(\cos 12x — \cos 8x) + (\cos 10x — \cos 6x) = 0$$ $$-2 \sin 10x \cdot \sin 2x — 2 \sin 8x \cdot \sin 2x = 0$$ $$-2 \sin 2x \cdot (\sin 10x + \sin 8x) = 0$$ $$\sin 2x \cdot 2 \sin 9x \cdot \cos x = 0$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Второе уравнение:

$$\sin 9x = 0 \Rightarrow 9x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{9}$$

Третье уравнение:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Корни на заданном интервале:

$$x_1 = \frac{\pi}{2}; \quad x_2 = \frac{\pi}{9}; \quad x_3 = \frac{2\pi}{9}; \quad x_4 = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3};$$ $$x_5 = \frac{4\pi}{9}; \quad x_6 = \frac{5\pi}{9}; \quad x_7 = \frac{6\pi}{9} = \frac{2\pi}{3}; \quad x_8 = \frac{7\pi}{9}$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2}; \; \frac{\pi}{9}; \; \frac{2\pi}{9}; \; \frac{\pi}{3}; \; \frac{4\pi}{9}; \; \frac{5\pi}{9}; \; \frac{2\pi}{3}; \; \frac{7\pi}{9}$$

б)

$$\sin 2x + 5 \sin 4x + \sin 6x = 0$$ $$(\sin 6x + \sin 2x) + 5 \sin 4x = 0$$ $$2 \sin 4x \cdot \sin 2x + 5 \sin 4x = 0$$ $$\sin 4x \cdot (2 \sin 2x + 5) = 0$$

Первое уравнение:

$$\sin 4x = 0 \Rightarrow 4x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}$$

Второе уравнение:

$$2 \sin 2x + 5 = 0 \Rightarrow \sin 2x = -2.5 \Rightarrow x \in \varnothing$$

Корни на заданном интервале:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}; \quad x_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}; \quad x_3 = \frac{3\pi}{4}$$

Ответ:

$$\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{4}$$

а)

Дано уравнение:

$$\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x,\quad x \in (0;\;2.5)$$

Шаг 1. Переносим все в одну часть:

$$\cos 6x + \cos 8x — \cos 10x — \cos 12x = 0$$

Шаг 2. Группируем слагаемые:

$$(\cos 12x — \cos 8x) + (\cos 10x — \cos 6x) = 0$$

Шаг 3. Применяем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Для $\cos 12x — \cos 8x$:

$$-2 \sin\left(\frac{12x + 8x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{12x — 8x}{2}\right) = -2 \sin 10x \cdot \sin 2x$$

Для $\cos 10x — \cos 6x$:

$$-2 \sin\left(\frac{10x + 6x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{10x — 6x}{2}\right) = -2 \sin 8x \cdot \sin 2x$$

Шаг 4. Подставляем:

$$-2 \sin 10x \cdot \sin 2x — 2 \sin 8x \cdot \sin 2x = 0$$

Шаг 5. Вынесем общий множитель:

$$-2 \sin 2x \cdot (\sin 10x + \sin 8x) = 0$$

Шаг 6. Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$ $$\sin 10x + \sin 8x = 2 \sin 9x \cdot \cos x$$

Шаг 7. Подставим:

$$-2 \sin 2x \cdot 2 \sin 9x \cdot \cos x = 0 \Rightarrow \sin 2x \cdot \sin 9x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 8. Разбиваем на 3 уравнения:

1) $\sin 2x = 0$

$$2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

2) $\sin 9x = 0$

$$9x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{9}$$

3) $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 9. Подставляем значения $n$, чтобы найти корни в $(0;\; 2.5)$

Из $\sin 2x = 0$:

$$x = \frac{\pi n}{2} \approx 1.571 \cdot n$$

• $n = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} \approx 1.571$
• $n = 2 \Rightarrow x = \pi \approx 3.142 > 2.5$ — не подходит

Корень: $x_1 = \frac{\pi}{2}$

Из $\sin 9x = 0$:

$$x = \frac{\pi n}{9} \approx 0.349 \cdot n$$

Проверим:

• $n = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{9} \approx 0.349$
• $n = 2 \Rightarrow x = \frac{2\pi}{9} \approx 0.698$
• $n = 3 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$
• $n = 4 \Rightarrow x = \frac{4\pi}{9} \approx 1.396$
• $n = 5 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{9} \approx 1.745$
• $n = 6 \Rightarrow x = \frac{6\pi}{9} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094$
• $n = 7 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{9} \approx 2.443$
• $n = 8 \Rightarrow x = \frac{8\pi}{9} \approx 2.792 > 2.5$ — не подходит

Корни:

• $x_2 = \frac{\pi}{9}$
• $x_3 = \frac{2\pi}{9}$
• $x_4 = \frac{\pi}{3}$
• $x_5 = \frac{4\pi}{9}$
• $x_6 = \frac{5\pi}{9}$
• $x_7 = \frac{2\pi}{3}$
• $x_8 = \frac{7\pi}{9}$

Из $\cos x = 0$:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

• $n = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} \approx 1.571$
• $n = 1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.712 > 2.5$ — не подходит

$x = \frac{\pi}{2}$ уже учтен.

Ответ к а):

$$\boxed{ \frac{\pi}{2},\; \frac{\pi}{9},\; \frac{2\pi}{9},\; \frac{\pi}{3},\; \frac{4\pi}{9},\; \frac{5\pi}{9},\; \frac{2\pi}{3},\; \frac{7\pi}{9} }$$

8 корней.

б)

Дано:

$$\sin 2x + 5 \sin 4x + \sin 6x = 0,\quad x \in (0;\;2.5)$$

Шаг 1. Группируем:

$$(\sin 6x + \sin 2x) + 5 \sin 4x = 0$$

Шаг 2. Применяем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$ $$\sin 6x + \sin 2x = 2 \sin 4x \cdot \cos 2x$$

Шаг 3. Подставляем:

$$2 \sin 4x \cdot \cos 2x + 5 \sin 4x = 0$$

Шаг 4. Вынесем $\sin 4x$:

$$\sin 4x (2 \cos 2x + 5) = 0$$

Шаг 5. Разбиваем:

1) $\sin 4x = 0$

$$4x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}$$

2) $2 \cos 2x + 5 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{5}{2}$

Нет решений, так как $\cos\theta \in [-1;\;1]$

Шаг 6. Подставим значения $n$ для $\frac{\pi n}{4}$ в $(0;\; 2.5)$:

$$x = \frac{\pi}{4} \cdot n \approx 0.785 \cdot n$$

• $n = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$
• $n = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} \approx 1.571$
• $n = 3 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356$
• $n = 4 \Rightarrow x = \pi \approx 3.141 > 2.5$ — не подходит

Корни:

• $x_1 = \frac{\pi}{4}$
• $x_2 = \frac{\pi}{2}$
• $x_3 = \frac{3\pi}{4}$

Ответ к б):

$$\boxed{ \frac{\pi}{4},\; \frac{\pi}{2},\; \frac{3\pi}{4} }$$

3 корня.