ГДЗ Мордкович 10-11 Класс Алгебра И Начала Математического Анализа Задачник 📕 — Все Части

ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович - Подробные Ответы

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Задача

а)

$\sin \frac{π}{5} - \sin \frac{π}{10}$

б)

$\sin \frac{π}{3} + \sin \frac{π}{4}$

в)

$\sin \frac{π}{6} + \sin \frac{π}{7}$

г)

$\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{π}{11}$

Краткий ответ

Представить в виде произведения:

а)

$\sin \frac{π}{5} - \sin \frac{π}{10} = \sin \frac{2 π}{10} - \sin \frac{π}{10} = 2 \sin \frac{2 π - π}{2 \cdot 10} \cdot \cos \frac{2 π + π}{2 \cdot 10} = 2 \sin \frac{π}{20} \cdot \cos \frac{3 π}{20};$

б)

$\sin \frac{π}{3} + \sin \frac{π}{4} = \sin \frac{4 π}{12} + \sin \frac{3 π}{12} = 2 \sin \frac{4 π + 3 π}{2 \cdot 12} \cdot \cos \frac{4 π - 3 π}{2 \cdot 12} = 2 \sin \frac{7 π}{24} \cdot \cos \frac{π}{24};$

в)

$\sin \frac{π}{6} + \sin \frac{π}{7} = \sin \frac{7 π}{42} + \sin \frac{6 π}{42} = 2 \sin \frac{7 π + 6 π}{2 \cdot 42} \cdot \cos \frac{7 π - 6 π}{2 \cdot 42} = 2 \sin \frac{13 π}{84} \cdot \cos \frac{π}{84};$

г)

$\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{π}{11} = \sin \frac{11 π}{33} - \sin \frac{3 π}{33} = 2 \sin \frac{11 π - 3 π}{2 \cdot 33} \cdot \cos \frac{11 π + 3 π}{2 \cdot 33} =$

$= 2 \sin \frac{8 π}{2 \cdot 33} \cdot \cos \frac{14 π}{2 \cdot 33} = 2 \sin \frac{4 π}{33} \cdot \cos \frac{7 π}{33}$

Подробный ответ

Формулы, которые используем:

Разность синусов:

$\sin A - \sin B = 2 \sin (\frac{A - B}{2}) \cdot \cos (\frac{A + B}{2})$

Сумма синусов:

$\sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \cdot \cos (\frac{A - B}{2})$

а)

$\sin (\frac{π}{5}) - \sin (\frac{π}{10})$

Шаг 1. Выравниваем знаменатели:

$\frac{π}{5} = \frac{2 π}{10}, \frac{π}{10} — уже с нужным знаменателем \Rightarrow$

$\sin (\frac{2 π}{10}) - \sin (\frac{π}{10})$

Шаг 2. Применяем формулу разности синусов:

$\sin A - \sin B = 2 \sin (\frac{A - B}{2}) \cdot \cos (\frac{A + B}{2})$

Пусть:

$A = \frac{2 π}{10}$
$B = \frac{π}{10}$

Шаг 3. Считаем полуразность и полусумму:

$\frac{A - B}{2} = \frac{2 π - π}{2 \cdot 10} = \frac{π}{20}$ $\frac{A + B}{2} = \frac{2 π + π}{2 \cdot 10} = \frac{3 π}{20}$

Шаг 4. Подставляем в формулу:

$\sin (\frac{π}{5}) - \sin (\frac{π}{10}) = 2 \sin (\frac{π}{20}) \cdot \cos (\frac{3 π}{20})$

Ответ (а):

$2 \sin (\frac{π}{20}) \cdot \cos (\frac{3 π}{20})$

б)

$\sin (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{π}{4})$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

$\frac{π}{3} = \frac{4 π}{12}, \frac{π}{4} = \frac{3 π}{12}$

Теперь:

$\sin (\frac{4 π}{12}) + \sin (\frac{3 π}{12})$

Шаг 2. Применяем формулу суммы синусов:

$\sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \cdot \cos (\frac{A - B}{2})$

Пусть:

$A = \frac{4 π}{12}$
$B = \frac{3 π}{12}$

Шаг 3. Считаем полу-сумму и полу-разность:

$\frac{A + B}{2} = \frac{7 π}{24}$ $\frac{A - B}{2} = \frac{π}{24}$

Шаг 4. Подставляем:

$\sin (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{π}{4}) = 2 \sin (\frac{7 π}{24}) \cdot \cos (\frac{π}{24})$

Ответ (б):

$2 \sin (\frac{7 π}{24}) \cdot \cos (\frac{π}{24})$

в)

$\sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{7})$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

$\frac{π}{6} = \frac{7 π}{42}, \frac{π}{7} = \frac{6 π}{42} \Rightarrow \sin (\frac{7 π}{42}) + \sin (\frac{6 π}{42})$

Шаг 2. Формула суммы синусов:

$\sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \cdot \cos (\frac{A - B}{2})$

Пусть:

$A = \frac{7 π}{42}$
$B = \frac{6 π}{42}$

Шаг 3. Вычисляем:

$\frac{A + B}{2} = \frac{13 π}{84}, \frac{A - B}{2} = \frac{π}{84}$

Шаг 4. Подставим:

$\sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{7}) = 2 \sin (\frac{13 π}{84}) \cdot \cos (\frac{π}{84})$

Ответ (в):

$2 \sin (\frac{13 π}{84}) \cdot \cos (\frac{π}{84})$

г)

$\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{11})$

Шаг 1. Приведём к общему знаменателю:

$\frac{π}{3} = \frac{11 π}{33}, \frac{π}{11} = \frac{3 π}{33} \Rightarrow \sin (\frac{11 π}{33}) - \sin (\frac{3 π}{33})$

Шаг 2. Формула разности синусов:

$\sin A - \sin B = 2 \sin (\frac{A - B}{2}) \cdot \cos (\frac{A + B}{2})$

Шаг 3. Вычисляем:

$\frac{A - B}{2} = \frac{11 π - 3 π}{2 \cdot 33} = \frac{8 π}{66} = \frac{4 π}{33}$ $\frac{A + B}{2} = \frac{11 π + 3 π}{2 \cdot 33} = \frac{14 π}{66} = \frac{7 π}{33}$