ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Преобразовать данное выражение к виду $C \sin(x + t)$ или $C \cos(x + t)$:

а)

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right) = 2 \sin(x + t)$$ $$C = \sqrt{3} + 1 = \sqrt{4} = 2$$ $$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$t = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Ответ:

$$2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$

б)

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2 \sin(x + t)$$ $$C = \sqrt{3} + 1 = \sqrt{4} = 2$$ $$\cos t = \frac{1}{2}$$ $$t = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Ответ:

$$2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$$

в)

$$\sin x — \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin(x — t)$$ $$C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ $$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$t = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

Ответ:

$$\sqrt{2} \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$$

г)

$$2 \sin x — \sqrt{12} \cos x = 4 \left( \frac{1}{2} \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 4 \sin(x — t)$$ $$C = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$ $$\cos t = \frac{1}{2}$$ $$t = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Ответ:

$$4 \sin \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$$

Любое выражение вида:

$$a \sin x + b \cos x$$

можно представить в виде:

$$C \sin(x + t) \quad \text{или} \quad C \cos(x + t)$$

где:

• $C = \sqrt{a^2 + b^2}$
• $\cos t = \dfrac{a}{C},\; \sin t = \dfrac{b}{C}$ — если приводим к виду $C \sin(x + t)$
• наоборот, если приводим к виду $C \cos(x + t)$

а)

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x$$

Шаг 1. Выделим коэффициенты:

$$a = \sqrt{3}, \quad b = 1$$

Шаг 2. Найдем модуль коэффициента $C$:

$$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 3. Представим выражение как:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$$

Шаг 4. Определим угол $t$, такой что:

$$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin t = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 5. Подставим:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin(x + \tfrac{\pi}{6})$$

Ответ:

$$\boxed{2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)}$$

б)

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x$$

Шаг 1. Коэффициенты:

$$a = 1,\quad b = \sqrt{3}$$

Шаг 2. Находим $C$:

$$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 3. Записываем:

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$$

Шаг 4. Найдем $t$:

$$\cos t = \frac{1}{2},\quad \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 5. Подставим:

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \tfrac{\pi}{3})$$

Ответ:

$$\boxed{2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)}$$

в)

$$\sin x — \cos x$$

Шаг 1. Коэффициенты:

$$a = 1,\quad b = -1$$

Шаг 2. Находим $C$:

$$C = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Шаг 3. Записываем:

$$\sin x — \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x — \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$$ $$= \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right)$$

Шаг 4. Найдем $t$:

$$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin t = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow t = -\frac{\pi}{4}$$

Но:

$$\sin(x — t) = \sin(x + |t|) \quad \text{если } \sin t < 0$$

Поэтому:

$$\sin x — \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt{2} \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right)}$$

г)

$$2 \sin x — \sqrt{12} \cos x$$

Шаг 1. Коэффициенты:

$$a = 2,\quad b = -\sqrt{12} = -2\sqrt{3}$$

Шаг 2. Найдем $C$:

$$C = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$

Шаг 3. Выделим коэффициенты:

$$2 \sin x — \sqrt{12} \cos x = 4 \left( \frac{1}{2} \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$$

Шаг 4. Найдем $t$:

$$\cos t = \frac{1}{2}, \quad \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow t = -\frac{\pi}{3}$$ $$\sin(x + (-t)) = \sin(x — t) \Rightarrow \sin x — \sqrt{3} \cos x = 4 \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 4\sin (x-\frac{\pi }{3})}}$$