ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$;

б) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$;

в) $\sin x — \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$;

г) $\sin x — \cos x = 1$

Решить уравнение:

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2\left(\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right) = 2 \cos(x — t);$$

$C = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2;$
$\cos t = \frac{1}{2};$
$t = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$

Решения уравнения:

$$2 \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = 1;$$ $$\cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) = \sqrt{2} \sin(x + t);$$

$C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2};$
$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2};$
$t = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4};$

Решения уравнения:

$$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2};$$ $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1;$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

в) $\sin x — \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin x — \sqrt{3} \cos x = -2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x\right) = -2 \cos(x + t);$$

$C = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;$
$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2};$
$t = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$

Решения уравнения:

$$-2 \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3};$$ $$\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{6} — \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\pi + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

г) $\sin x — \cos x = 1$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin x — \cos x = -\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right) = -\sqrt{2} \cos(x + t);$$

$C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2};$
$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2};$
$t = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4};$

Решения уравнения:

$$-\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1;$$ $$\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} — \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\pi + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$

Шаг 1: Распознаём выражение

Данное уравнение имеет вид суммы синуса и косинуса с коэффициентами:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x$$

Цель — привести левую часть к виду:

$$C \cos(x — t)$$

Шаг 2: Находим коэффициент $C$

Используем формулу:

$$C = \sqrt{a^2 + b^2}$$

где $a = \sqrt{3}$, $b = 1$.

$$C = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 3: Выделим выражение под косинус

Представим:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$$

Это соответствует формуле:

$$\cos(x — t) = \cos x \cos t + \sin x \sin t$$

Сравниваем:

• $\cos t = \frac{1}{2}$
• $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Эти значения соответствуют:

$$t = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 4: Подставляем в уравнение

Исходное уравнение:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$$

Теперь:

$$2 \cos(x — \frac{\pi}{3}) = 1 \Rightarrow \cos(x — \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Решаем тригонометрическое уравнение

Решаем:

$$\cos(x — \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$$

Общее решение:

$$x — \frac{\pi}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Отсюда:

• $x_1 = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n$
• $x_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ:

$$\boxed{2\pi n; \quad \frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$$

б) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

Шаг 1: Выражение

$$\sin x + \cos x$$

Приводим к виду:

$$C \sin(x + t)$$

Шаг 2: Находим $C$

$$C = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

Шаг 3: Выделим под синус

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin(x + t)$$

Здесь:

• $\sin t = \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$

Шаг 4: Подставим в уравнение

$$\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \Rightarrow \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$$

Шаг 5: Решаем

$$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + 2\pi n}$$

в) $\sin x — \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$

Шаг 1: Выражение

$$\sin x — \sqrt{3} \cos x$$

Шаг 2: Находим $C$

$$C = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 3: Преобразуем

Запишем:

$$\sin x — \sqrt{3} \cos x = -2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x — \frac{1}{2} \sin x \right) = -2 \cos(x + t)$$

Проверим:

• $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin t = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}$

Шаг 4: Подставим

$$-2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \Rightarrow \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 5: Решаем

$$x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

• $x_1 = -\frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n$
• $x_2 = \frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ:

$$\boxed{\pi + 2\pi n; \quad \frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$$

г) $\sin x — \cos x = 1$

Шаг 1: Выражение

$$\sin x — \cos x$$

Шаг 2: $C$:

$$C = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$

Шаг 3: Преобразуем

$$\sin x — \cos x = -\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right) = -\sqrt{2} \cos(x + t)$$

• $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$

Шаг 4: Подставим

$$-\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \Rightarrow \cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5: Решаем

$$x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

• $x_1 = -\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n$
• $x_2 = \frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \pi +2\pi n;\frac{\pi }{2}+2\pi n}}$$