ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а)

$$y = \sqrt{3} \sin x + \cos x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x\right) = 2 \sin(x + t);$$ $$C = \sqrt{3} + 1 = \sqrt{4} = 2;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin(x + t) \leq 1;$$ $$-2 \leq 2 \sin(x + t) \leq 2;$$

Ответ: $-2; \quad 2$

б)

$$y = \sin x — \sqrt{3} \cos x = 2\left(\frac{1}{2} \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x\right) = 2 \sin(x — t);$$ $$C = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin(x — t) \leq 1;$$ $$-2 \leq 2 \sin(x — t) \leq 2;$$

Ответ: $-2; \quad 2$

в)

$$y = \sin x — \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) = \sqrt{2} \sin(x — t);$$ $$C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2};$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin(x — t) \leq 1;$$ $$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin(x — t) \leq \sqrt{2};$$

Ответ: $-\sqrt{2}; \quad \sqrt{2}$

г)

$$y = \sqrt{6} \sin x — \sqrt{2} \cos x = \sqrt{8}\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} \sin x — \frac{1}{\sqrt{4}} \cos x\right) = 2\sqrt{2} \sin(x — t);$$ $$C = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2};$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin(x — t) \leq 1;$$ $$-2\sqrt{2} \leq 2\sqrt{2} \sin(x — t) \leq 2\sqrt{2};$$

Ответ: $-2\sqrt{2}; \quad 2\sqrt{2}$

Если функция задана в виде:

$$y = a \sin x + b \cos x$$

— приводим её к виду:

$$y = C \sin(x + t) \quad \text{или} \quad y = C \cos(x + t),$$

где:

• $C = \sqrt{a^2 + b^2}$ — амплитуда функции;
• $t$ — угол сдвига фазы (его значение не влияет на максимум/минимум, важен только $C$);
• тогда:

  $$-C \leq y \leq C$$

а) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

Шаг 1: Распознаём вид

$$y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$$

Приводим к форме:

$$y = C \sin(x + t)$$

Шаг 2: Вычисляем $C$

$$C = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 3: Преобразуем под синус

$$y = \sqrt{3} \sin x + \cos x = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$$ $$= 2 \sin(x + t), \quad \text{где } \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos t = \frac{1}{2}, \Rightarrow t = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 4: Множество значений синуса

$$-1 \leq \sin(x + t) \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -2 \leq y \leq 2$$

Ответ:

$$\boxed{-2; \quad 2}$$

б) $y = \sin x — \sqrt{3} \cos x$

Шаг 1: Вид функции

$$y = \sin x — \sqrt{3} \cos x$$

Шаг 2: Вычисляем амплитуду $C$

$$C = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 3: Преобразуем

$$y = 2\left( \frac{1}{2} \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$$ $$= 2 \sin(x — t), \quad \text{где } \sin t = \frac{1}{2}, \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 4: Множество значений

$$-1 \leq \sin(x — t) \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -2 \leq y \leq 2$$

Ответ:

$$\boxed{-2; \quad 2}$$

в) $y = \sin x — \cos x$

Шаг 1: Вид

$$y = \sin x — \cos x$$

Шаг 2: Амплитуда $C$

$$C = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Шаг 3: Преобразуем

$$y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x — \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin(x — t)$$ $$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 4: Множество значений

$$-1 \leq \sin(x — t) \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -\sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\sqrt{2}; \quad \sqrt{2}}$$

г) $y = \sqrt{6} \sin x — \sqrt{2} \cos x$

Шаг 1: Вид

$$y = \sqrt{6} \sin x — \sqrt{2} \cos x$$

Шаг 2: Амплитуда $C$

$$C = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Шаг 3: Преобразуем

$$y = \sqrt{8} \left( \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} \cos x \right) = 2\sqrt{2} \sin(x — t)$$

Поскольку:

• $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

Значит:

$$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos t = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 4: Множество значений

$$-1 \leq \sin(x — t) \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -2\sqrt{2} \leq y \leq 2\sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -2\sqrt{2};2\sqrt{2}}}$$