ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Существуют ли значения $x$, при которых выполняется равенство:

а) $\sin 5x + \cos 5x = 1{,}5$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$y = \sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 5x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 5x \right) = \sqrt{2} \sin(5x + t);$$ $$C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2};$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin(5x + t) \leq 1;$$ $$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin(5x + t) \leq \sqrt{2};$$

Наибольшее значение:

$$y_{\text{max}} = \sqrt{2} < 1{,}5;$$

Ответ: нет.

б) $3 \sin 2x — 4 \cos 2x = \sqrt{26}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$y = 3 \sin 2x — 4 \cos 2x = 5\left( \frac{3}{5} \sin 2x — \frac{4}{5} \cos 2x \right) = 5 \sin(2x — t);$$ $$C = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin(2x — t) \leq 1;$$ $$-5 \leq 5 \sin(2x — t) \leq 5;$$

Наибольшее значение:

$$y_{\text{max}} = 5 < \sqrt{26};$$

Ответ: нет.

в) $\sin 7x — \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$y = \sin 7x — \sqrt{3} \cos 7x = 2\left( \frac{1}{2} \sin 7x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 7x \right) = 2 \sin(7x — t);$$ $$C = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin(7x — t) \leq 1;$$ $$-2 \leq 2 \sin(7x — t) \leq 2;$$

Наибольшее значение:

$$y_{\text{max}} = 2 > \frac{\pi}{2};$$

Ответ: да.

г) $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$y = 5 \sin x + 12 \cos x = 13\left( \frac{5}{13} \sin x + \frac{12}{13} \cos x \right) = 13 \sin(x + t);$$ $$C = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin(x + t) \leq 1;$$ $$-13 \leq 13 \sin(x + t) \leq 13;$$

Наибольшее значение:

$$y_{\text{max}} = 13 < \sqrt{170};$$

Ответ: нет.

Для выражений вида

$$a \sin(\omega x) + b \cos(\omega x)$$

мы можем преобразовать их к форме:

$$C \sin(\omega x + t) \quad \text{или} \quad C \cos(\omega x + t)$$

где:

• $C = \sqrt{a^2 + b^2}$ — амплитуда функции;
• синус/косинус принимает значения от $-1$ до $1$, значит:

$$-C \leq y \leq C$$

Это означает: правая часть уравнения должна лежать в этом промежутке, иначе уравнение не имеет решений.

а) $\sin 5x + \cos 5x = 1{,}5$

Шаг 1: Приводим к синусу одной функции

Преобразуем левую часть:

$$\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 5x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 5x \right) = \sqrt{2} \sin(5x + t)$$

где:

• $\sin t = \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $t = \frac{\pi}{4}$

Шаг 2: Вычисляем амплитуду

$$C = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

Шаг 3: Уточняем область значений

$$-1 \leq \sin(5x + t) \leq 1 \Rightarrow -\sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}$$

Шаг 4: Сравниваем с правой частью

$$\sqrt{2} \approx 1.4142 < 1.5 \Rightarrow \text{Правая часть выходит за максимум}$$

Ответ:

$$\boxed{\text{Нет, решений не существует}}$$

б) $3 \sin 2x — 4 \cos 2x = \sqrt{26}$

Шаг 1: Приводим к синусу

$$3 \sin 2x — 4 \cos 2x = 5 \left( \frac{3}{5} \sin 2x — \frac{4}{5} \cos 2x \right) = 5 \sin(2x — t)$$

где:

• $\sin t = \frac{3}{5}$, $\cos t = \frac{4}{5}$

Шаг 2: Вычисляем амплитуду

$$C = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 3: Область значений

$$-1 \leq \sin(2x — t) \leq 1 \Rightarrow -5 \leq y \leq 5$$

Шаг 4: Сравниваем с правой частью

$$\sqrt{26} \approx 5.099 > 5 \Rightarrow \text{Выходит за предел}$$

Ответ:

$$\boxed{\text{Нет, решений не существует}}$$

в) $\sin 7x — \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Приводим к синусу

$$\sin 7x — \sqrt{3} \cos 7x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin 7x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 7x \right) = 2 \sin(7x — t)$$

где:

• $\sin t = \frac{1}{2}$, $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $t = \frac{\pi}{6}$

Шаг 2: Амплитуда

$$C=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$$

Шаг 3: Область значений

$$-2 \leq y \leq 2$$

Шаг 4: Сравнение

$$\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 2 \Rightarrow \text{Входит в область значений}$$

Ответ:

$$\boxed{\text{Да, решения существуют}}$$

г) $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}$

Шаг 1: Приводим к синусу

$$5 \sin x + 12 \cos x = 13 \left( \frac{5}{13} \sin x + \frac{12}{13} \cos x \right) = 13 \sin(x + t)$$

где:

• $\sin t = \frac{5}{13}$, $\cos t = \frac{12}{13}$

Шаг 2: Амплитуда

$$C = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Шаг 3: Область значений

$$-13 \leq y \leq 13$$

Шаг 4: Сравнение

$$\sqrt{170} \approx 13.038 > 13 \Rightarrow \text{Выходит за пределы}$$

Ответ:

$$\boxed{\text{Нет, решений не существует}}$$