ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $4 \sin x — 3 \cos x = 5$

б) $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2{,}5$

в) $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0 \Rightarrow 12 \sin x + 5 \cos x = -13$

г) $5\cos \frac{x}{2}-12\sin \frac{x}{2}=\mathrm{6,5}$

Решить уравнение:

а) $4 \sin x — 3 \cos x = 5$

Преобразуем левую часть равенства:

$$4 \sin x — 3 \cos x = 5 \left( \frac{4}{5} \sin x — \frac{3}{5} \cos x \right) = 5 \sin(x — t)$$ $$C = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ $$\cos t = \frac{4}{5} \Rightarrow t = \arccos \frac{4}{5}$$

Решения уравнения:

$$5 \sin(x — t) = 5 \Rightarrow \sin(x — t) = 1$$ $$x — t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + t + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \arccos \frac{4}{5} + 2\pi n}$$

б) $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2{,}5$

Преобразуем левую часть равенства:

$$3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 5 \left( \frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x \right) = 5 \sin(2x + t)$$ $$C = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$\cos t = \frac{3}{5} \Rightarrow t = \arccos \frac{3}{5}$$

Решения уравнения:

$$5 \sin(2x + t) = 2{,}5 \Rightarrow \sin(2x + t) = \frac{1}{2}$$

Общее решение:

$$2x + t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} — t + \pi n \right)$$

Ответ:

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{1}{2} \arccos \frac{3}{5} + \frac{\pi n}{2}}$$

в) $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0 \Rightarrow 12 \sin x + 5 \cos x = -13$

Преобразуем левую часть:

$$12 \sin x + 5 \cos x = 13 \left( \frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x \right) = 13 \sin(x + t)$$ $$C = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ $$\cos t = \frac{5}{13} \Rightarrow t = \arccos \frac{5}{13}$$

Уравнение:

$$13 \sin(x + t) = -13 \Rightarrow \sin(x + t) = -1 \Rightarrow x + t = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} — t + 2\pi n$$

Можно использовать также представление через косинус:

$$12 \sin x + 5 \cos x = 13 \cos(x — t),\ t = \arccos \frac{5}{13} \Rightarrow \cos(x — t) = -1 \Rightarrow x = \pi + t + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + \arccos \frac{5}{13} + 2\pi n}$$

г) $5 \cos \frac{x}{2} — 12 \sin \frac{x}{2} = 6{,}5$

Преобразуем левую часть:

$$5 \cos \frac{x}{2} — 12 \sin \frac{x}{2} = 13 \left( \frac{5}{13} \cos \frac{x}{2} — \frac{12}{13} \sin \frac{x}{2} \right) = 13 \cos\left(\frac{x}{2} + t\right)$$ $$C = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ $$\cos t = \frac{5}{13} \Rightarrow t = \arccos \frac{5}{13}$$

Решаем:

$$13 \cos\left(\frac{x}{2} + t\right) = 6{,}5 \Rightarrow \cos\left(\frac{x}{2} + t\right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} + t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Выражаем $x$:

$$x = 2\left( \pm \frac{\pi}{3} — t + 2\pi n \right) = \pm \frac{2\pi}{3} — 2t + 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pm \frac{2\pi}{3} — 2 \arccos \frac{5}{13} + 4\pi n}$$

а) $4 \sin x — 3 \cos x = 5$

Шаг 1: Представим левую часть в виде $R \sin(x \pm t)$

Дано:

$$4 \sin x — 3 \cos x$$

Ищем коэффициент $R$ (амплитуду):

$$R = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Запишем:

$$4 \sin x — 3 \cos x = 5 \cdot \left( \frac{4}{5} \sin x — \frac{3}{5} \cos x \right)$$

Применим формулу:

$$a \sin x + b \cos x = R \sin(x + t),\quad \text{где } \cos t = \frac{a}{R},\ \sin t = \frac{b}{R}$$

В нашем случае:

$$\sin(x — t),\quad \cos t = \frac{4}{5} \Rightarrow t = \arccos\frac{4}{5}$$

Шаг 2: Получим уравнение

$$5 \sin(x — t) = 5 \Rightarrow \sin(x — t) = 1$$

Шаг 3: Найдём общее решение

$$x — t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + t + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \arccos \frac{4}{5} + 2\pi n}$$

б) $3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 2{,}5$

Шаг 1: Преобразуем в $R \sin(2x + t)$

$$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Запишем:

$$3 \sin 2x + 4 \cos 2x = 5 \left( \frac{3}{5} \sin 2x + \frac{4}{5} \cos 2x \right) = 5 \sin(2x + t)$$

Здесь:

$$\cos t = \frac{3}{5},\quad t = \arccos \frac{3}{5}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$5 \sin(2x + t) = 2{,}5 \Rightarrow \sin(2x + t) = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Общее решение

$$2x + t = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} — t + \pi n \right)$$

Ответ:

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} — \frac{1}{2} \arccos \frac{3}{5} + \frac{\pi n}{2}}$$

в) $12 \sin x + 5 \cos x + 13 = 0$

Шаг 1: Переносим свободный член

$$12 \sin x + 5 \cos x = -13$$

Шаг 2: Преобразуем в $R \cos(x — t)$

$$R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Запишем:

$$12 \sin x + 5 \cos x = 13 \left( \frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x \right)$$

Это:

$$13 \cos(x — t),\quad \cos t = \frac{5}{13} \Rightarrow t = \arccos \frac{5}{13}$$

Шаг 3: Подставим в уравнение

$$13 \cos(x — t) = -13 \Rightarrow \cos(x — t) = -1 \Rightarrow x — t = \pi + 2\pi n$$ $$x = \pi + t + 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi + \arccos \frac{5}{13} + 2\pi n}$$

г) $5 \cos \frac{x}{2} — 12 \sin \frac{x}{2} = 6{,}5$

Шаг 1: Представим в виде $R \cos\left(\frac{x}{2} + t\right)$

$$R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ $$5 \cos \frac{x}{2} — 12 \sin \frac{x}{2} = 13 \left( \frac{5}{13} \cos \frac{x}{2} — \frac{12}{13} \sin \frac{x}{2} \right) = 13 \cos\left( \frac{x}{2} + t \right)$$

где:

$$\cos t = \frac{5}{13},\quad t = \arccos \frac{5}{13}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$13 \cos\left( \frac{x}{2} + t \right) = 6{,}5 \Rightarrow \cos\left( \frac{x}{2} + t \right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Решаем

$$\frac{x}{2} + t = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 4: Найдём $x$

$$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} — t + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} — 2t + 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\pm \frac{2\pi }{3}-2\arccos \frac{5}{13}+4\pi n}}$$