ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 — 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right);$$

Преобразуем сумму:

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x\right) = 2 \cos(x — t);$$ $$C = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;$$ $$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$t = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$$

Подставим это значение в уравнение:

$$\left(2 \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right)\right)^2 — 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right);$$ $$4 \cos^2\left(x — \frac{\pi}{6}\right) — \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) — 5 = 0;$$

Пусть $y = \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right)$, тогда:

$$4y^2 — y — 5 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 5 = 1 + 80 = 81, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 9}{2 \cdot 4} = -\frac{8}{8} = -1;$$ $$y_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4};$$

Первое значение:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = -1;$$ $$x — \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{5}{4};$$ $$x \in \varnothing;$$

Ответ:

$$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

б)

$$(\sqrt{3} \sin x — \cos x)^2 + 1 = 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right);$$

Преобразуем разность:

$$\sqrt{3} \sin x — \cos x = -2\left(\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right) = -2 \cos(x + t);$$ $$C = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2;$$ $$\cos t = \frac{1}{2};$$ $$t = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$$

Подставим это значение в уравнение:

$$\left(-2 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)^2 + 1 = 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right);$$ $$4 \cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0;$$ $$\left(2 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 1\right)^2 = 0;$$ $$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \quad 2\pi n.$$

а)

Уравнение:

$$(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 — 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Рассмотрим выражение:

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x$$

Это сумма синуса и косинуса — её можно представить в виде одной тригонометрической функции с помощью формулы:

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos(x — t), \quad \text{где } \cos t = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}},\ \sin t = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Применим формулу:

• $a = 1$
• $b = \sqrt{3}$

Находим:

$$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$ $$\cos t = \frac{b}{C} = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin t = \frac{a}{C} = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2: Подставим обратно в уравнение

$$(\sin x + \sqrt{3} \cos x)^2 = \left(2 \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right)\right)^2 = 4 \cos^2\left(x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Получаем уравнение:

$$4 \cos^2\left(x — \frac{\pi}{6}\right) — 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right)$$

Шаг 3: Замечание о правой части

Заметим, что:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} — x\right) = \cos\left(-(x — \frac{\pi}{6})\right) = \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) \quad \text{(так как } \cos(-\theta) = \cos(\theta) \text{)}$$

Значит, уравнение становится:

$$4 \cos^2\left(x — \frac{\pi}{6}\right) — 5 = \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 4: Вводим замену переменной

Обозначим:

$$y = \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Тогда уравнение примет вид:

$$4y^2 — 5 = y \Rightarrow 4y^2 — y — 5 = 0$$

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 9}{8}$$ $$y_1 = \frac{1 — 9}{8} = \frac{-8}{8} = -1,\quad y_2 = \frac{1 + 9}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$$

Шаг 6: Решаем по каждому корню

Корень 1: $y = -1$

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = -1 \Rightarrow x — \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

Корень 2: $y = \frac{5}{4}$

Значение $\cos(\theta)$ не может быть больше 1 ⇒ этот корень не подходит:

$$\cos(x — \frac{\pi}{6}) = \frac{5}{4} \quad \text{— нет решений}$$

Ответ (а):

$$\boxed{ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} }$$

б)

Уравнение:

$$(\sqrt{3} \sin x — \cos x)^2 + 1 = 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Рассмотрим:

$$\sqrt{3} \sin x — \cos x$$

Аналогично, применим формулу:

$$a \sin x + b \cos x = R \cos(x + \varphi), \quad R = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Здесь:

• $a = \sqrt{3}$
• $b = -1$

Находим:

$$C = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$ $$\cos t = \frac{1}{2},\quad \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow t = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$ $$\sqrt{3} \sin x — \cos x = -2 \cos(x + \frac{\pi}{3})$$

Шаг 2: Подставляем в уравнение

$$(\sqrt{3} \sin x — \cos x)^2 + 1 = 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$ $$(-2 \cos(x + \frac{\pi}{3}))^2 + 1 = 4 \cos(x + \frac{\pi}{3})$$ $$4 \cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 3: Переносим всё в одну часть

$$4 \cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — 4 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 1 = 0$$

Обозначим $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$:

$$4y^2 — 4y + 1 = 0$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 — 16 = 0$$

Корень один (двойной):

$$y = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Решим уравнение

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Общий вид решения:

$$x + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Решаем:

• $x_1 = -\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
• $x_2 = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi n,x=2\pi n,n\in \mathbb{Z}}}$$