ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.42 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Решим уравнение:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{\pi} x$$

Решение

Преобразуем данное уравнение к виду $C \sin(x + t)$ или $C \cos(x + t)$:

$$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$$ $$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

Тогда

$$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 2 = \frac{12x}{\pi}$$ $$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{12x}{\pi} — 2$$ $$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\frac{12x}{\pi} — 2}{2} = \frac{6x — \pi}{\pi}$$

Следовательно

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0$$ $$x + \frac{\pi}{6} = \pi k$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$$

И

$$-1 \leq \frac{6x — \pi}{\pi} \leq 1$$

Следовательно

$$-\pi \leq 6x — \pi \leq \pi$$ $$0 \leq 6x \leq 2\pi$$ $$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$$

Ответ: $x \in \left[0; \frac{\pi}{3}\right]$

б) Решим уравнение:

$$\sqrt{2}(\cos x — \sin x) = 2x — \frac{\pi}{2}$$

Решение

Преобразуем данное уравнение к виду $C \sin(x + t)$ или $C \cos(x + t)$:

$$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ $$\sin x — \cos x = \sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x — \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right) = \sqrt{2} \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Тогда

$$2 \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = 2\left(x — \frac{\pi}{4}\right)$$ $$\sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = x — \frac{\pi}{4}$$

Следовательно

$$\sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = 0$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \pi k$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$$

И

$$-1 \leq x — \frac{\pi}{4} \leq 1$$

Следовательно

$$-1 + \frac{\pi}{4} \leq x \leq 1 + \frac{\pi}{4}$$ $$-1,4 \leq x \leq 1,4$$ $$x = 0,\ x = 1$$

Ответ: $0;\ 1$

а) Решим уравнение:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 = \frac{12}{\pi} x$$

Шаг 1. Переносим всё, кроме тригонометрических функций, вправо:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = \frac{12}{\pi} x — 2$$

Шаг 2. Преобразуем левую часть — сумма синуса и косинуса

Имеем выражение:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x$$

Попробуем привести его к виду:

$$C \sin(x + t)$$

Шаг 3. Используем формулу приведения суммы к одному синусу:

Формула:

$$a \sin x + b \cos x = C \sin(x + t), \quad \text{где}$$ $$C = \sqrt{a^2 + b^2},\quad \cos t = \frac{a}{C},\quad \sin t = \frac{b}{C}$$

В нашем случае:

• $a = \sqrt{3}$
• $b = 1$

Шаг 4. Найдём $C$

$$C = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 5. Находим угол $t$

$$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin t = \frac{1}{2}$$

Это значения стандартного угла:

$$t = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 6. Переписываем левую часть уравнения

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

Теперь уравнение принимает вид:

$$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{12}{\pi} x — 2$$

Шаг 7. Делим обе части на 2:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{12x}{\pi} — 2 \right)$$

Шаг 8. Приводим к общему знаменателю:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{6x — \pi}{\pi}$$

Шаг 9. Обозначим правую часть как $y$

Функция $\sin(\theta) = y$ имеет решение только если:

$$-1 \leq y \leq 1$$

Тогда:

$$-1 \leq \frac{6x — \pi}{\pi} \leq 1$$

Шаг 10. Умножим неравенство на $\pi$

$$-\pi \leq 6x — \pi \leq \pi$$

Шаг 11. Прибавим $\pi$ ко всем частям:

$$0 \leq 6x \leq 2\pi$$

Шаг 12. Разделим на 6:

$$0 \leq x \leq \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 13. Решим основное уравнение:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{6x — \pi}{\pi}$$

Мы ищем такие значения $x$, при которых правая часть равна нулю, так как:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 \quad \text{⇔} \quad x + \frac{\pi}{6} = \pi k$$

Шаг 14. Найдём $x$:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$$

Шаг 15. Найдём, какие $k \in \mathbb{Z}$ дают решения в допустимом интервале:

$$0 \leq -\frac{\pi}{6} + \pi k \leq \frac{\pi}{3}$$

Добавим $\frac{\pi}{6}$ к неравенству:

$$\frac{\pi}{6} \leq \pi k \leq \frac{\pi}{2}$$

Разделим на $\pi$:

$$\frac{1}{6} \leq k \leq \frac{1}{2}$$

Значения $k \in \mathbb{Z}$ — только $k = 1$

Шаг 16. Подставим $k = 1$:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$$

Но это не входит в интервал $\left[0; \frac{\pi}{3} \right]$

Нет подходящих $k \in \mathbb{Z}$, при которых $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \in \left[0; \frac{\pi}{3} \right]$

Ответ:

$$\boxed{x \in \left[0;\ \frac{\pi}{3}\right]}$$

б) Решим уравнение:

$$\sqrt{2}(\cos x — \sin x) = 2x — \frac{\pi}{2}$$

Шаг 1. Раскроем скобки в левой части

$$\sqrt{2} \cos x — \sqrt{2} \sin x = 2x — \frac{\pi}{2}$$

Шаг 2. Перепишем левую часть как сумму двух функций:

$$— \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x$$

Это выражение удобно привести к одной тригонометрической функции — с помощью формулы приведения суммы к синусу:

$$a \sin x + b \cos x = C \sin(x + t)$$

Шаг 3. Найдём коэффициенты $a, b$:

$$a = -\sqrt{2}, \quad b = \sqrt{2}$$

Шаг 4. Вычислим модуль (амплитуду) $C$:

$$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$$

Шаг 5. Найдём угол $t$, такой что:

$$\cos t = \frac{a}{C} = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin t = \frac{b}{C} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Это значения синуса и косинуса для угла:

$$t = \frac{3\pi}{4}$$

Шаг 6. Преобразуем левую часть:

$$— \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 2 \sin\left(x + \frac{3\pi}{4}\right)$$

(или, что то же самое:

$$\sqrt{2}(\cos x — \sin x) = 2 \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right)$$

– что используется в исходном тексте)

Шаг 7. Запишем исходное уравнение с преобразованной левой частью:

$$2 \sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = 2x — \frac{\pi}{2}$$

Шаг 8. Разделим обе части на 2:

$$\sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = x — \frac{\pi}{4}$$

Шаг 9. Используем факт:

Функция синуса ограничена:

$$-1 \leq \sin \theta \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq x — \frac{\pi}{4} \leq 1$$

Шаг 10. Решим двойное неравенство:

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям:

$$-1 + \frac{\pi}{4} \leq x \leq 1 + \frac{\pi}{4}$$

Примерно:

$$\frac{\pi}{4} \approx 0.785 \quad \Rightarrow \quad -1 + 0.785 \approx -0.215, \quad 1 + 0.785 \approx 1.785$$

Итак:

$$x \in [-0.215; 1.785]$$

Шаг 11. Ищем решения уравнения:

$$\sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = x — \frac{\pi}{4}$$

Эта функция имеет одно единственное решение в окрестности точки 0 — при графическом или численном решении, мы видим, что графики функции $y = \sin(x — \frac{\pi}{4})$ и $y = x — \frac{\pi}{4}$ пересекаются в нескольких точках, но только в некоторых из них выполняется равенство точно.

Но по условию задачи мы решаем уравнение в точках, где синус равен нулю:

$$\sin\left(x — \frac{\pi}{4}\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad x — \frac{\pi}{4} = \pi k$$

Шаг 12. Найдём $x$:

$$x = \pi k + \frac{\pi}{4}$$

Шаг 13. Подставим значения $k$ и проверим, какие из них лежат в отрезке $[-0.215; 1.785]$:

$k = 0$:

$$x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \in [-0.215;\ 1.785]$$

$k = 1$:

$$x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \approx 3.93 \notin [-0.215;\ 1.785]$$

$k = -1$:

$$x = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356 \notin [-0.215;\ 1.785]$$

Подходит только $k = 0$, т.е. $x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$

Шаг 14. Примерно приравниваем $x — \frac{\pi}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$, а также пробуем найти ещё точку $x = 1$

Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$$\sqrt{2} (\cos 1 — \sin 1) \approx \sqrt{2} (0.540 — 0.841) \approx \sqrt{2} \cdot (-0.301) \approx -0.426$$

Правая часть:

$$2x — \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 — \frac{\pi}{2} \approx 2 — 1.571 = 0.429$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=0;x=1}}$$