ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представить в виде произведения:

а)

$$\sin 3t — \sin t = 2 \sin \dfrac{3t — t}{2} \cdot \cos \dfrac{3t + t}{2} = 2 \sin t \cdot \cos 2t;$$

б)

$$\cos(a — 2\beta) — \cos(a + 2\beta) =$$ $$= -2 \sin \dfrac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2} \cdot \sin \dfrac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2} =$$ $$= -2 \sin \dfrac{2a}{2} \cdot \sin \left(-\dfrac{4\beta}{2}\right) = 2 \sin a \cdot \sin 2\beta;$$

в)

$$\cos 6t + \cos 4t = 2 \cos \dfrac{6t + 4t}{2} \cdot \cos \dfrac{6t — 4t}{2} = 2 \cos 5t \cdot \cos t;$$

г)

$$\sin(a — 2\beta) — \sin(a + 2\beta) =$$ $$= 2 \sin \dfrac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2} \cdot \cos \dfrac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2} =$$ $$= 2 \sin \left(-\dfrac{4\beta}{2}\right) \cdot \cos \dfrac{2a}{2} = -2 \sin 2\beta \cdot \cos a;$$

Используемые формулы преобразования тригонометрических выражений:

Разность синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Разность косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Сумма косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

а)

$$\sin 3t — \sin t$$

Шаг 1. Применим формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = 3t$
• $B = t$

Шаг 2. Считаем полуразность и полусумму:

$$\frac{3t — t}{2} = \frac{2t}{2} = t$$ $$\frac{3t + t}{2} = \frac{4t}{2} = 2t$$

Шаг 3. Подставляем в формулу:

$$\sin 3t — \sin t = 2 \sin t \cdot \cos 2t$$

Ответ (а):

$$\boxed{2 \sin t \cdot \cos 2t}$$

б)

$$\cos(a — 2\beta) — \cos(a + 2\beta)$$

Шаг 1. Применим формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = a — 2\beta$
• $B = a + 2\beta$

Шаг 2. Считаем полу-сумму и полу-разность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2} = \frac{2a}{2} = a$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2} = \frac{-4\beta}{2} = -2\beta$$

Шаг 3. Подставим в формулу:

$$\cos(a — 2\beta) — \cos(a + 2\beta) = -2 \sin a \cdot \sin(-2\beta)$$

Шаг 4. Синус — нечётная функция:

$$\sin(-2\beta) = -\sin 2\beta \Rightarrow -2 \sin a \cdot (-\sin 2\beta) = 2 \sin a \cdot \sin 2\beta$$

Ответ (б):

$$\boxed{2 \sin a \cdot \sin 2\beta}$$

в)

$$\cos 6t + \cos 4t$$

Шаг 1. Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = 6t$
• $B = 4t$

Шаг 2. Считаем полу-сумму и полу-разность:

$$\frac{6t + 4t}{2} = \frac{10t}{2} = 5t$$ $$\frac{6t — 4t}{2} = \frac{2t}{2} = t$$

Шаг 3. Подставим:

$$\cos 6t + \cos 4t = 2 \cos 5t \cdot \cos t$$

Ответ (в):

$$\boxed{2 \cos 5t \cdot \cos t}$$

г)

$$\sin(a — 2\beta) — \sin(a + 2\beta)$$

Шаг 1. Применим формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Где:

• $A = a — 2\beta$
• $B = a + 2\beta$

Шаг 2. Считаем полу-разность и полу-сумму:

$$\frac{A — B}{2} = \frac{(a — 2\beta) — (a + 2\beta)}{2} = \frac{-4\beta}{2} = -2\beta$$ $$\frac{A + B}{2} = \frac{(a — 2\beta) + (a + 2\beta)}{2} = \frac{2a}{2} = a$$

Шаг 3. Подставим:

$$\sin(a — 2\beta) — \sin(a + 2\beta) = 2 \sin(-2\beta) \cdot \cos a$$

Шаг 4. Синус нечётный:

$$\sin(-2\beta) = -\sin 2\beta \Rightarrow 2 \cdot (-\sin 2\beta) \cdot \cos a = -2 \sin 2\beta \cdot \cos a$$

Ответ (г):

$$\boxed{{\displaystyle -2\sin 2\beta \cdot \cos a}}$$