ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Проверьте равенство:

а) sin35° + sin25° = cos5°;

б) sin40° + cos70° = cos10°;

в) cos12° — cos48° = sin18°;

г) cos20° — sin50° = sin10°.

Проверить равенство:

а)

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = \cos 5^\circ;$$ $$2 \sin \frac{35^\circ + 25^\circ}{2} \cdot \cos \frac{35^\circ — 25^\circ}{2} = \cos 5^\circ;$$ $$2 \sin 30^\circ \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ;$$ $$\cos 5^\circ = \cos 5^\circ;$$

Ответ: верно.

б)

$$\sin 40^\circ + \cos 70^\circ = \cos 10^\circ;$$ $$\sin 40^\circ = \cos 10^\circ — \cos 70^\circ;$$ $$\sin 40^\circ = -2 \sin \frac{10^\circ — 70^\circ}{2} \cdot \sin \frac{10^\circ + 70^\circ}{2};$$ $$\sin 40^\circ = -2 \sin(-30^\circ) \cdot \sin 40^\circ;$$ $$\sin 40^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 40^\circ;$$ $$\sin 40^\circ = \sin 40^\circ;$$

Ответ: верно.

в)

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = \sin 18^\circ;$$ $$-2 \sin \frac{12^\circ — 48^\circ}{2} \cdot \sin \frac{12^\circ + 48^\circ}{2} = \sin 18^\circ;$$ $$-2 \sin(-18^\circ) \cdot \sin 30^\circ = \sin 18^\circ;$$ $$2 \cdot \sin 18^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 18^\circ;$$ $$\sin 18^\circ = \sin 18^\circ;$$

Ответ: верно.

г)

$$\cos 20^\circ — \sin 50^\circ = \sin 10^\circ;$$ $$\cos 20^\circ = \sin 50^\circ + \sin 10^\circ;$$ $$\cos 20^\circ = 2 \sin \frac{50^\circ + 10^\circ}{2} \cdot \cos \frac{50^\circ — 10^\circ}{2};$$ $$\cos 20^\circ = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 20^\circ;$$ $$\cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ;$$ $$\cos 20^\circ = \cos 20^\circ;$$

Ответ: верно.

а)

Проверяем:

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ \stackrel{?}{=} \cos 5^\circ$$

Шаг 1: Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Здесь:
$A = 35^\circ,\ B = 25^\circ$

Шаг 2: Подставим в формулу:

$$\sin 35^\circ + \sin 25^\circ = 2 \sin\left(\frac{35^\circ + 25^\circ}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{35^\circ — 25^\circ}{2}\right)$$ $$= 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 5^\circ$$

Шаг 3: Подставим значения:

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$$= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 5^\circ = \cos 5^\circ$$

Шаг 4: Проверка:

$$\cos 5^\circ = \cos 5^\circ \quad \Rightarrow \text{равенство верно}$$

Ответ: верно

б)

Проверяем:

$$\sin 40^\circ + \cos 70^\circ \stackrel{?}{=} \cos 10^\circ$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть:

$$\sin 40^\circ = \cos 10^\circ — \cos 70^\circ$$

Шаг 2: Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Подставим:

$$\cos 10^\circ — \cos 70^\circ = -2 \sin\left(\frac{10^\circ + 70^\circ}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{10^\circ — 70^\circ}{2}\right)$$ $$= -2 \sin 40^\circ \cdot \sin(-30^\circ)$$

Шаг 3: Используем:

• $\sin(-x) = -\sin x \Rightarrow \sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}$

$$= -2 \sin 40^\circ \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 40^\circ = \sin 40^\circ$$

Шаг 4: Получили:

$$\sin 40^\circ = \sin 40^\circ \quad \Rightarrow \text{равенство верно}$$

Ответ: верно

в)

Проверяем:

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ \stackrel{?}{=} \sin 18^\circ$$

Шаг 1: Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Здесь $A = 12^\circ, B = 48^\circ$

Шаг 2: Подставляем:

$$\cos 12^\circ — \cos 48^\circ = -2 \sin\left(\frac{12^\circ + 48^\circ}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{12^\circ — 48^\circ}{2}\right)$$ $$= -2 \sin 30^\circ \cdot \sin(-18^\circ)$$

Шаг 3: Используем:

• $\sin(-x) = -\sin x \Rightarrow \sin(-18^\circ) = -\sin 18^\circ$
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$$= -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 18^\circ) = \sin 18^\circ$$

Шаг 4: Получили:

$$\sin 18^\circ = \sin 18^\circ \quad \Rightarrow \text{равенство верно}$$

Ответ: верно

г)

Проверяем:

$$\cos 20^\circ — \sin 50^\circ \stackrel{?}{=} \sin 10^\circ$$

Шаг 1: Переносим $\sin 50^\circ$ вправо:

$$\cos 20^\circ = \sin 50^\circ + \sin 10^\circ$$

Шаг 2: Используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Подставляем $A = 50^\circ, B = 10^\circ$

Шаг 3: Вычисляем:

$$\sin 50^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin\left(\frac{50^\circ + 10^\circ}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{50^\circ — 10^\circ}{2}\right)$$ $$= 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 20^\circ$$

Шаг 4: Подставим значения:

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$$= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ$$

Шаг 5: Получили:

$$\cos 20^\circ = \cos 20^\circ \quad \Rightarrow \text{равенство верно}$$

Ответ: верно