ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Преобразовать произведение в сумму:

а)

$$\sin 23^\circ \cdot \sin 32^\circ = \dfrac{\cos(32^\circ — 23^\circ) — \cos(32^\circ + 23^\circ)}{2} = \dfrac{1}{2}(\cos 9^\circ — \cos 55^\circ);$$

б)

$$\cos \dfrac{\pi}{12} \cdot \cos \dfrac{\pi}{8} = \cos \dfrac{2\pi}{24} \cdot \cos \dfrac{3\pi}{24} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{3\pi}{24} + \dfrac{2\pi}{24}\right) + \cos\left(\dfrac{3\pi}{24} — \dfrac{2\pi}{24}\right)}{2} = \dfrac{1}{2}\left(\cos \dfrac{5\pi}{24} + \cos \dfrac{\pi}{24}\right);$$

в)

$$\sin {14}^{\circ }\cdot \cos {16}^{\circ }=\frac{\sin ({14}^{\circ }+{16}^{\circ })+\sin ({14}^{\circ }-{16}^{\circ })}{2}=\frac{\sin {30}^{\circ }+\sin (-2^{\circ })}{2}=$$

$$\sin 14^\circ \cdot \cos 16^\circ = \dfrac{\sin(14^\circ + 16^\circ) + \sin(14^\circ — 16^\circ)}{2} = \dfrac{\sin 30^\circ + \sin(-2^\circ)}{2} = \dfrac{\dfrac{1}{2} — \sin 2^\circ}{2} = \dfrac{1}{4} — \dfrac{1}{2} \sin 2^\circ;$$

г)

$$2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{5}=2\sin \frac{5\pi }{40}\cdot \cos \frac{8\pi }{40}=2\cdot \frac{\sin (\frac{5\pi }{40}+\frac{8\pi }{40})+\sin (\frac{5\pi }{40}-\frac{8\pi }{40})}{2}=$$

$$2 \sin \dfrac{\pi}{8} \cdot \cos \dfrac{\pi}{5} = 2 \sin \dfrac{5\pi}{40} \cdot \cos \dfrac{8\pi}{40} = 2 \cdot \dfrac{\sin\left(\dfrac{5\pi}{40} + \dfrac{8\pi}{40}\right) + \sin\left(\dfrac{5\pi}{40} — \dfrac{8\pi}{40}\right)}{2} = \sin \dfrac{13\pi}{40} + \sin\left(-\dfrac{3\pi}{40}\right) = \sin \dfrac{13\pi}{40} — \sin \dfrac{3\pi}{40};$$

Используем формулы произведения в сумму:

1. $\sin A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} [\cos(A — B) — \cos(A + B)]$
2. $\cos A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2} [\cos(A — B) + \cos(A + B)]$
3. $\sin A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A — B)]$
4. $\cos A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} [\sin(A + B) — \sin(A — B)]$

а)

$$\sin 23^\circ \cdot \sin 32^\circ$$

Шаг 1. Идентифицируем формулу:

Это произведение двух синусов, значит используем формулу:

$$\sin A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} [\cos(A — B) — \cos(A + B)]$$

Шаг 2. Подставляем значения:

• $A = 23^\circ$
• $B = 32^\circ$

$$\sin 23^\circ \cdot \sin 32^\circ = \dfrac{1}{2} [\cos(23^\circ — 32^\circ) — \cos(23^\circ + 32^\circ)]$$

Шаг 3. Вычисляем углы:

• $23^\circ — 32^\circ = -9^\circ$, но $\cos(-9^\circ) = \cos(9^\circ)$, т.к. косинус — чётная функция
• $23^\circ + 32^\circ = 55^\circ$

$$= \dfrac{1}{2} (\cos 9^\circ — \cos 55^\circ)$$

Ответ:

$$\boxed{\dfrac{1}{2} (\cos 9^\circ — \cos 55^\circ)}$$

б)

$$\cos \dfrac{\pi}{12} \cdot \cos \dfrac{\pi}{8}$$

Шаг 1. Идентифицируем формулу:

Произведение косинусов — используем:

$$\cos A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2} [\cos(A — B) + \cos(A + B)]$$

Шаг 2. Приводим к общему знаменателю:

• $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{24}$
• $\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{24}$

Так удобнее складывать и вычитать.

Шаг 3. Применяем формулу:

$$\cos \dfrac{2\pi}{24} \cdot \cos \dfrac{3\pi}{24} = \dfrac{1}{2} [\cos\left(\dfrac{3\pi}{24} — \dfrac{2\pi}{24}\right) + \cos\left(\dfrac{3\pi}{24} + \dfrac{2\pi}{24}\right)]$$

Шаг 4. Считаем:

• $3\pi/24 — 2\pi/24 = \pi/24$
• $3\pi/24 + 2\pi/24 = 5\pi/24$

$$= \dfrac{1}{2} \left(\cos \dfrac{5\pi}{24} + \cos \dfrac{\pi}{24} \right)$$

Ответ:

$$\boxed{\dfrac{1}{2} \left(\cos \dfrac{5\pi}{24} + \cos \dfrac{\pi}{24} \right)}$$

в)

$$\sin 14^\circ \cdot \cos 16^\circ$$

Шаг 1. Идентифицируем формулу:

Произведение синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A — B)]$$

Шаг 2. Подставим значения:

• $A = 14^\circ$
• $B = 16^\circ$

$$= \dfrac{1}{2} [\sin(14^\circ + 16^\circ) + \sin(14^\circ — 16^\circ)]$$

Шаг 3. Считаем углы:

• $14^\circ + 16^\circ = 30^\circ$
• $14^\circ — 16^\circ = -2^\circ$

$$= \dfrac{1}{2} [\sin 30^\circ + \sin(-2^\circ)]$$

Шаг 4. Применим свойство нечётности синуса:

$$\sin(-2^\circ) = -\sin 2^\circ$$ $$= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} — \sin 2^\circ \right) = \dfrac{1}{4} — \dfrac{1}{2} \sin 2^\circ$$

Ответ:

$$\boxed{ \dfrac{1}{4} — \dfrac{1}{2} \sin 2^\circ }$$

г)

$$2 \sin \dfrac{\pi}{8} \cdot \cos \dfrac{\pi}{5}$$

Шаг 1. Упростим сначала множители:

• $\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{5\pi}{40}$
• $\dfrac{\pi}{5} = \dfrac{8\pi}{40}$

Значит:

$$2 \sin \dfrac{5\pi}{40} \cdot \cos \dfrac{8\pi}{40}$$

Шаг 2. Используем формулу:

$$2 \sin A \cdot \cos B = \sin(A + B) + \sin(A — B)$$

Шаг 3. Подставим значения:

$$= \sin\left( \dfrac{5\pi}{40} + \dfrac{8\pi}{40} \right) + \sin\left( \dfrac{5\pi}{40} — \dfrac{8\pi}{40} \right)$$

Шаг 4. Считаем:

• $5\pi/40 + 8\pi/40 = 13\pi/40$
• $5\pi/40 — 8\pi/40 = -3\pi/40$

$$= \sin \dfrac{13\pi}{40} + \sin\left( -\dfrac{3\pi}{40} \right)$$

Шаг 5. Применим свойство:

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta$$ $$= \sin \dfrac{13\pi}{40} — \sin \dfrac{3\pi}{40}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \sin \frac{13\pi }{40}-\sin \frac{3\pi }{40}}}$$