ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а)

$$\sin 3x \cdot \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2};$$ $$\frac{\sin(3x + x) + \sin(3x — x)}{2} = \frac{\sin\left(\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2}\right) + \sin\left(\frac{5x}{2} — \frac{3x}{2}\right)}{2};$$ $$\sin 4x + \sin 2x = \sin 4x + \sin x;$$ $$\sin 2x — \sin x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — \sin x = 0;$$ $$\sin x \cdot (2 \cos x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x — 1 = 0;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pi n; \ \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

б)

$$2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — x\right) + \sin^2 x = 0;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} + x\right) — \left(\frac{\pi}{4} — x\right) \right) — \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \left(\frac{\pi}{4} — x\right) \right) \right) + \sin^2 x = 0;$$ $$\cos 2x — \cos \frac{\pi}{2} + \sin^2 x = 0;$$ $$(\cos^2 x — \sin^2 x) — 0 + \sin^2 x = 0;$$ $$\cos^2 x = 0;$$ $$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n.$$

в)

$$\sin 2x \cdot \cos x = \sin x \cdot \cos 2x;$$ $$\frac{\sin(2x + x) + \sin(2x — x)}{2} = \frac{\sin(x + 2x) + \sin(x — 2x)}{2};$$ $$\sin 3x + \sin x = \sin 3x + \sin(-x);$$ $$\sin x = -\sin x;$$ $$2 \sin x = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Ответ:

$$\pi n.$$

г)

$$\cos 2x \cdot \cos x = \cos 2{,}5x \cdot \cos 0{,}5x;$$ $$\frac{\cos(2x + x) + \cos(2x — x)}{2} = \frac{\cos(2{,}5x + 0{,}5x) + \cos(2{,}5x — 0{,}5x)}{2};$$ $$\cos 3x + \cos x = \cos 3x + \cos 2x;$$ $$\cos 2x — \cos x = 0;$$ $$2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} — \cos x — 1 = 0;$$ $$2 \cos^2 x — \cos x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 — y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}; \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Первое значение:

$$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = 1;$$ $$x = 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \quad 2\pi n.$$

а)

$$\sin 3x \cdot \cos x = \sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2}$$

Шаг 1: Используем формулу произведения синуса и косинуса

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A — B)]$$

Левая часть:

$$\sin 3x \cdot \cos x = \frac{1}{2}[\sin(3x + x) + \sin(3x — x)] = \frac{1}{2}[\sin 4x + \sin 2x]$$

Правая часть:

$$\sin \frac{5x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}[\sin(\frac{5x}{2} + \frac{3x}{2}) + \sin(\frac{5x}{2} — \frac{3x}{2})] = \frac{1}{2}[\sin 4x + \sin x]$$

Шаг 2: Приравниваем:

$$\frac{1}{2}[\sin 4x + \sin 2x] = \frac{1}{2}[\sin 4x + \sin x]$$

Умножим обе части на 2:

$$\sin 4x + \sin 2x = \sin 4x + \sin x$$

Шаг 3: Упростим:

Вычтем $\sin 4x$ из обеих частей:

$$\sin 2x = \sin x$$

Шаг 4: Перенесём всё в одну часть:

$$\sin 2x — \sin x = 0$$

Шаг 5: Используем формулу разности синусов:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow 2 \sin x \cos x — \sin x = 0$$

Шаг 6: Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x (2 \cos x — 1) = 0$$

Шаг 7: Найдём корни:

1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$
2. $2 \cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}$$

б)

$$2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — x\right) + \sin^2 x = 0$$

Шаг 1: Используем формулу произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A — B) — \cos(A + B)]$$

Где:

• $A = \frac{\pi}{4} + x$
• $B = \frac{\pi}{4} — x$

$$2 \sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — x\right) = 2 \cdot \frac{1}{2}[\cos(2x) — \cos(\frac{\pi}{2})] = \cos 2x — 0$$

(так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$)

Шаг 2: Подставим обратно:

$$\cos 2x + \sin^2 x = 0$$

Шаг 3: Выразим $\cos 2x$ через $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \Rightarrow \cos^2 x — \sin^2 x + \sin^2 x = 0 \Rightarrow \cos^2 x = 0$$

Шаг 4: Решаем:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n}$$

в)

$$\sin 2x \cdot \cos x = \sin x \cdot \cos 2x$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть:

$$\sin 2x \cdot \cos x = \frac{1}{2}[\sin(3x) + \sin(x)]$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть:

$$\sin x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2}[\sin(3x) + \sin(-x)] = \frac{1}{2}[\sin 3x — \sin x]$$

Шаг 3: Приравняем:

$$\frac{1}{2}[\sin 3x + \sin x] = \frac{1}{2}[\sin 3x — \sin x]$$

Умножим обе части на 2:

$$\sin 3x + \sin x = \sin 3x — \sin x \Rightarrow \sin x = -\sin x \Rightarrow 2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n}$$

г)

$$\cos 2x \cdot \cos x = \cos 2.5x \cdot \cos 0.5x$$

Шаг 1: Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A — B)]$$

Левая часть:

$$\cos 2x \cdot \cos x = \frac{1}{2}[\cos(3x) + \cos(x)]$$

Правая часть:

$$\cos 2.5x \cdot \cos 0.5x = \frac{1}{2}[\cos(3x) + \cos(2x)]$$

Шаг 2: Приравняем:

$$\frac{1}{2}[\cos 3x + \cos x] = \frac{1}{2}[\cos 3x + \cos 2x] \Rightarrow \cos x = \cos 2x \Rightarrow \cos 2x — \cos x = 0$$

Шаг 3: Выразим $\cos 2x$ через $\cos x$:

$$\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1 \Rightarrow 2 \cos^2 x — 1 — \cos x = 0 \Rightarrow 2 \cos^2 x — \cos x — 1 = 0$$

Шаг 4: Введём замену:

Пусть $y = \cos x$:

$$2y^2 — y — 1 = 0 \Rightarrow D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9$$

$$y_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}; \quad y_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$$

Шаг 5: Найдём x:

1. $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
2. $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n;x=2\pi n}}$$