ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения:

a)

$$\sin x \cdot \sin 3x = 0{,}5;$$ $$\frac{\cos(3x — x) — \cos(3x + x)}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\cos 2x − \cos 4x = 1;$$ $$1 + \cos 4x − \cos 2x = 0;$$ $$2 \cdot \frac{1 + \cos 4x}{2} — \cos 2x = 0;$$ $$2 \cos^2 2x − \cos 2x = 0;$$ $$\cos 2x \cdot (2 \cos 2x − 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x − 1 = 0;$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi}{6}.$$

б)

$$\cos x \cdot \cos 3x + 0{,}5 = 0;$$ $$\frac{\cos(3x + x) + \cos(3x — x)}{2} + \frac{1}{2} = 0;$$ $$\cos 4x + \cos 2x + 1 = 0;$$ $$2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} + \cos 2x = 0;$$ $$2 \cos^2 2x + \cos 2x = 0;$$ $$\cos 2x \cdot (2 \cos 2x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x + 1 = 0;$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi}{4}.$$

а)

$$\sin x \cdot \sin 3x = 0{,}5$$

Шаг 1: Применим формулу произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A — B) — \cos(A + B)]$$

Здесь:
$A = x$, $B = 3x$

$$\sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2}[\cos(2x) — \cos(4x)]$$

Шаг 2: Приравниваем к правой части:

$$\frac{1}{2}[\cos 2x — \cos 4x] = \frac{1}{2}$$

Умножим обе части на 2:

$$\cos 2x — \cos 4x = 1$$

Шаг 3: Переносим $\cos 2x$ вправо:

$$-\cos 4x = 1 — \cos 2x \Rightarrow \cos 4x = \cos 2x — 1$$

Теперь упростим иначе: перенесём всё в одну сторону:

$$\cos 2x — \cos 4x = 1 \Rightarrow 1 + \cos 4x — \cos 2x = 0$$

Шаг 4: Преобразуем $1 + \cos 4x$ через удвоение:

$$1 + \cos 4x = 2 \cdot \frac{1 + \cos 4x}{2}$$

Подставим:

$$2 \cdot \frac{1 + \cos 4x}{2} — \cos 2x = 0$$

Шаг 5: Выразим через $\cos^2 2x$:

$$\cos 4x = 2\cos^2 2x — 1 \Rightarrow \frac{1 + (2\cos^2 2x — 1)}{2} = \cos^2 2x$$

Тогда:

$$2{\cos }^{2}2x-\cos 2x=0\Rightarrow \cos 2x(2\cos 2x-1)=0$$

Шаг 6: Найдём корни:

$\cos 2x = 0$

$$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

$2 \cos 2x — 1 = 0 \Rightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$

$$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 7: Найдём нужные корни:

Из всех найденных значений:

• $x = \frac{\pi}{6}$ — наименьший положительный
• $x = -\frac{\pi}{6}$ — наибольший отрицательный

Ответ (а):

$$\boxed{x = \pm \frac{\pi}{6}}$$

б)

$$\cos x \cdot \cos 3x + 0{,}5 = 0$$

Шаг 1: Применим формулу произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A — B)]$$

Здесь:
$A = x$, $B = 3x$

$$\cos x \cdot \cos 3x = \frac{1}{2}[\cos(4x) + \cos(2x)]$$

Шаг 2: Подставим в уравнение:

$$\frac{1}{2}[\cos 4x + \cos 2x] + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \cos 4x + \cos 2x + 1 = 0$$

Шаг 3: Преобразуем:

$$1 + \cos 4x = 2 \cdot \frac{1 + \cos 4x}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{1 + \cos 4x}{2} + \cos 2x = 0$$

Шаг 4: Выразим через $\cos^2 2x$:

$$\cos 4x = 2 \cos^2 2x — 1 \Rightarrow 2 \cos^2 2x + \cos 2x = 0 \Rightarrow \cos 2x (2 \cos 2x + 1) = 0$$

Шаг 5: Найдём корни:

1. $\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$
2. $2 \cos 2x + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$

$$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 6: Выбираем корни:

Из всех найденных:

• $x = \frac{\pi}{4}$ — наименьший положительный
• $x = -\frac{\pi}{4}$ — наибольший отрицательный

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle x=\pm \frac{\pi }{4}}}$$