ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$, если:

а)

$$f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{24}\right);$$ $$f(x) = \frac{1}{2} \left( \sin\left( \left(x + \frac{\pi}{8}\right) + \left(x — \frac{\pi}{24}\right) \right) + \sin\left( \left(x + \frac{\pi}{8}\right) — \left(x — \frac{\pi}{24}\right) \right) \right);$$ $$f(x) = \frac{1}{2} \left( \sin\left(2x — \frac{\pi}{12}\right) + \sin\frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \sin t + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{4};$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin t \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \sin t \leq \frac{1}{2};$$ $$-\frac{1}{4} \leq \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{4} \leq \frac{3}{4};$$

Ответ:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{3}{4}; \quad y_{\text{наим}} = -\frac{1}{4}.$$

б)

$$f(x) = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right);$$ $$f(x) = \frac{1}{2} \left( \cos\left( \left(x + \frac{\pi}{3}\right) — \left(x — \frac{\pi}{3}\right) \right) — \cos\left( \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x — \frac{\pi}{3}\right) \right) \right);$$ $$f(x) = \frac{1}{2} \left( \cos\frac{2\pi}{3} — \cos 2x \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} — \cos 2x \right) = -\frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cos 2x;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \cos 2x \leq 1;$$ $$-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \cos 2x \leq \frac{1}{2};$$ $$-\frac{3}{4} \leq -\frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cos 2x \leq \frac{1}{4};$$

Ответ:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{1}{4}; \quad y_{\text{наим}} = -\frac{3}{4}.$$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$, если:

а)

$$f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{24}\right)$$

Шаг 1: Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right)$$

Здесь:

• $A = x + \frac{\pi}{8}$
• $B = x — \frac{\pi}{24}$

Шаг 2: Подставим в формулу:

$$f(x) = \frac{1}{2} \left( \sin\left[(x + \frac{\pi}{8}) + (x — \frac{\pi}{24})\right] + \sin\left[(x + \frac{\pi}{8}) — (x — \frac{\pi}{24})\right] \right)$$

Шаг 3: Упростим аргументы:

• $(x + \frac{\pi}{8}) + (x — \frac{\pi}{24}) = 2x + \left(\frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{24}\right) = 2x + \frac{\pi}{12}$
• $(x + \frac{\pi}{8}) — (x — \frac{\pi}{24}) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{24} = \frac{1}{6} \pi = \frac{\pi}{6}$

Шаг 4: Подставим в выражение:

$$f(x) = \frac{1}{2} \left( \sin\left(2x + \frac{\pi}{12} \right) + \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) \right)$$

Шаг 5: Подставим значение синуса:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2} \left( \sin\left(2x + \frac{\pi}{12} \right) + \frac{1}{2} \right)$$

Шаг 6: Введём замену переменной:

Пусть:

$$t = 2x + \frac{\pi}{12} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{4}$$

Шаг 7: Найдём наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)$:

Так как $\sin t \in [-1, 1]$, то:

• $\frac{1}{2} \sin t \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
• Тогда:

$$f(x) = \frac{1}{2} \sin t + \frac{1}{4} \in \left[ -\frac{1}{4}, \frac{3}{4} \right]$$

Ответ (а):

$$\boxed{y_{\text{наим}} = -\frac{1}{4}; \quad y_{\text{наиб}} = \frac{3}{4}}$$

б)

$$f(x) = \sin\left(x — \frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 1: Используем формулу произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) — \cos(A + B) \right)$$

Здесь:

• $A = x — \frac{\pi}{3}$
• $B = x + \frac{\pi}{3}$

Шаг 2: Подставим в формулу:

$$f(x) = \frac{1}{2} \left( \cos\left[(x — \frac{\pi}{3}) — (x + \frac{\pi}{3})\right] — \cos\left[(x — \frac{\pi}{3}) + (x + \frac{\pi}{3})\right] \right)$$

Шаг 3: Упростим аргументы:

• $(x — \frac{\pi}{3}) — (x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$
• $(x — \frac{\pi}{3}) + (x + \frac{\pi}{3}) = 2x$

Значит:

$$f(x) = \frac{1}{2} \left( \cos(-\frac{2\pi}{3}) — \cos 2x \right)$$

Шаг 4: Используем чётность косинуса:

$$\cos(-\theta) = \cos \theta \Rightarrow \cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Подставим:

$$f(x) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} — \cos 2x \right) = -\frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cos 2x$$

Шаг 6: Найдём диапазон функции:

Поскольку $\cos 2x \in [-1, 1]$, то:

• $\frac{1}{2} \cos 2x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$
• Значит:

$$-\frac{1}{4} — \frac{1}{2} \cos 2x \in [-\frac{3}{4}, \frac{1}{4}]$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle y_{\text{наим}}=-\frac{3}{4};y_{\text{наиб}}=\frac{1}{4}}}$$