ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Преобразовать произведение в сумму:

а)

$$\sin (a+\beta )\cdot \sin (a-\beta )=\frac{\cos ((a+\beta )-(a-\beta ))-\cos ((a+\beta )+(a-\beta ))}{2}=$$

$$=\frac{1}{2}(\cos 2\beta -\cos 2a);$$

б)

$$\cos (a+\beta )\cdot \cos (a-\beta )=\frac{\cos ((a+\beta )+(a-\beta ))+\cos ((a+\beta )-(a-\beta ))}{2}=$$

$$=\frac{1}{2}(\cos 2a+\cos 2\beta );$$

в)

$$\cos (\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})\cdot \cos (\frac{a}{2}-\frac{\beta }{2})=$$

$$=\frac{\cos ((\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})+(\frac{a}{2}-\frac{\beta }{2}))+\cos ((\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})-(\frac{a}{2}-\frac{\beta }{2}))}{2}=$$

$$=\frac{1}{2}(\cos a+\cos \beta );$$

г)

$$2\sin (a+\beta )\cdot \cos (a-\beta )=2\cdot \frac{\sin ((a+\beta )+(a-\beta ))+\sin ((a+\beta )-(a-\beta ))}{2}=$$

$$=\sin 2a+\sin 2\beta$$

Будем использовать следующие основные формулы:

1. $\sin A\cdot \sin B={\displaystyle \frac{1}{2}}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$
2. $\cos A\cdot \cos B={\displaystyle \frac{1}{2}}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$
3. $\sin A\cdot \cos B={\displaystyle \frac{1}{2}}[\sin (A+B)+\sin (A-B)]$

а)

$$\sin (a+\beta )\cdot \sin (a-\beta )$$

Шаг 1. Узнаём тип произведения

Это произведение двух синусов, значит используем:

$$\sin A\cdot \sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$$

Шаг 2. Обозначим:

• $A=a+\beta$
• $B=a-\beta$

Шаг 3. Подставим в формулу:

$$\sin (a+\beta )\cdot \sin (a-\beta )=\frac{1}{2}[\cos ((a+\beta )-(a-\beta ))-\cos ((a+\beta )+(a-\beta ))]$$

Шаг 4. Упростим выражения в скобках:

• $(a+\beta )-(a-\beta )=2\beta$
• $(a+\beta )+(a-\beta )=2a$

Шаг 5. Подставим упрощённые выражения:

$$=\frac{1}{2}[\cos 2\beta -\cos 2a]$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}(\cos 2\beta -\cos 2a)}}$$

б)

$$\cos (a+\beta )\cdot \cos (a-\beta )$$

Шаг 1. Тип произведения

Это произведение двух косинусов. Используем:

$$\cos A\cdot \cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$$

Шаг 2. Обозначим:

• $A=a+\beta$
• $B=a-\beta$

Шаг 3. Подставим в формулу:

$$\cos (a+\beta )\cdot \cos (a-\beta )=\frac{1}{2}[\cos ((a+\beta )-(a-\beta ))+\cos ((a+\beta )+(a-\beta ))]$$

Шаг 4. Упростим скобки:

• $(a+\beta )-(a-\beta )=2\beta$
• $(a+\beta )+(a-\beta )=2a$

Шаг 5. Подставим:

$$=\frac{1}{2}[\cos 2\beta +\cos 2a]$$

Порядок можно поменять, т.к. сложение — операция коммутативная:

$$=\frac{1}{2}(\cos 2a+\cos 2\beta )$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}(\cos 2a+\cos 2\beta )}}$$

в)

$$\cos (\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2})\cdot \cos (\frac{a}{2}-\frac{\beta }{2})$$

Шаг 1. Тип произведения

Это произведение двух косинусов → применяем:

$$\cos A\cdot \cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$$

Шаг 2. Обозначим:

• $A={\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{\beta }{2}}$
• $B={\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{\beta }{2}}$

Шаг 3. Вычислим суммы и разности:

• $A+B=({\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{\beta }{2}})+({\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{\beta }{2}})={\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{\beta }{2}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{\beta }{2}}=a$
• $A-B=({\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{\beta }{2}})-({\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{\beta }{2}})={\displaystyle \frac{\beta }{2}}+{\displaystyle \frac{\beta }{2}}=\beta$

Шаг 4. Подставим:

$$=\frac{1}{2}[\cos a+\cos \beta ]$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}(\cos a+\cos \beta )}}$$

г)

$$2\sin (a+\beta )\cdot \cos (a-\beta )$$

Шаг 1. Тип выражения

Это произведение синуса и косинуса с коэффициентом 2, т.е. используем:

$$2\sin A\cdot \cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B)$$

Шаг 2. Обозначим:

• $A=a+\beta$
• $B=a-\beta$

Шаг 3. Подставим в формулу:

$$2\sin (a+\beta )\cdot \cos (a-\beta )=\sin ((a+\beta )+(a-\beta ))+\sin ((a+\beta )-(a-\beta ))$$

Шаг 4. Считаем выражения:

• $(a+\beta )+(a-\beta )=2a$
• $(a+\beta )-(a-\beta )=2\beta$

Шаг 5. Подставим:

$$=\sin 2a+\sin 2\beta$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \sin 2a+\sin 2\beta }}$$