ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Преобразовать произведение в сумму:

а)

$$\cos a \cdot \sin(a + \beta) = \dfrac{\sin((a + \beta) + a) + \sin((a + \beta) — a)}{2} = \dfrac{1}{2}(\sin(2a + \beta) + \sin \beta);$$

б)

$$\sin ({60}^{\circ }+a)\cdot \sin ({60}^{\circ }-a)=\frac{\cos (({60}^{\circ }+a)-({60}^{\circ }-a))-\cos (({60}^{\circ }+a)+({60}^{\circ }-a))}{2}=$$

$$\sin(60^\circ + a) \cdot \sin(60^\circ — a) = \dfrac{\cos((60^\circ + a) — (60^\circ — a)) — \cos((60^\circ + a) + (60^\circ — a))}{2} = \dfrac{1}{2}(\cos 2a — \cos 120^\circ) = \dfrac{1}{2}\cos 2a + \dfrac{1}{2}\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\cos 2a + \dfrac{1}{4};$$

в)

$$\sin \beta \cdot \cos (a+\beta )=\frac{\sin (\beta +(a+\beta ))+\sin (\beta -(a+\beta ))}{2}=\frac{1}{2}(\sin (a+2\beta )+\sin (-a))=$$

$$\sin \beta \cdot \cos(a + \beta) = \dfrac{\sin(\beta + (a + \beta)) + \sin(\beta — (a + \beta))}{2} = \dfrac{1}{2}(\sin(a + 2\beta) + \sin(-a)) = \dfrac{1}{2}(\sin(a + 2\beta) — \sin a);$$

г)

$$\cos (a+\frac{\pi }{4})\cdot \cos (a-\frac{\pi }{4})=\frac{\cos ((a+\frac{\pi }{4})+(a-\frac{\pi }{4}))+\cos ((a+\frac{\pi }{4})-(a-\frac{\pi }{4}))}{2}=$$

$$\cos\left(a + \dfrac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(a — \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\cos\left(\left(a + \dfrac{\pi}{4}\right) + \left(a — \dfrac{\pi}{4}\right)\right) + \cos\left(\left(a + \dfrac{\pi}{4}\right) — \left(a — \dfrac{\pi}{4}\right)\right)}{2} = \dfrac{1}{2}\left(\cos 2a + \cos\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(\cos 2a + 0) = \dfrac{1}{2}\cos 2a$$

а)

$$\cos a \cdot \sin(a + \beta)$$

Шаг 1. Тип произведения:

Это произведение вида $\cos A \cdot \sin B$, и поскольку:

$$\cos A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A + B) — \sin(A — B) \right]$$

Но в решении применена другая формула — она эквивалентна, но проще использовать:

$$\sin A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A + B) + \sin(A — B) \right]$$

Поменяем местами множители:

$$\sin(a + \beta) \cdot \cos a = \dfrac{1}{2} \left[ \sin((a + \beta) + a) + \sin((a + \beta) — a) \right]$$

Шаг 2. Скобки:

• $(a + \beta) + a = 2a + \beta$
• $(a + \beta) — a = \beta$

Шаг 3. Подставим:

$$= \dfrac{1}{2} \left( \sin(2a + \beta) + \sin \beta \right)$$

Ответ:

$$\boxed{ \dfrac{1}{2} \left( \sin(2a + \beta) + \sin \beta \right) }$$

б)

$$\sin(60^\circ + a) \cdot \sin(60^\circ — a)$$

Шаг 1. Тип произведения:

Произведение двух синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} \left[ \cos(A — B) — \cos(A + B) \right]$$

Шаг 2. Обозначим:

• $A = 60^\circ + a$
• $B = 60^\circ — a$

Шаг 3. Скобки:

• $A — B = (60^\circ + a) — (60^\circ — a) = 2a$
• $A + B = (60^\circ + a) + (60^\circ — a) = 120^\circ$

Шаг 4. Подставим:

$$= \dfrac{1}{2} \left( \cos 2a — \cos 120^\circ \right)$$

Шаг 5. Числовые значения:

• $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ — 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$

$$= \dfrac{1}{2} \cos 2a + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cos 2a + \dfrac{1}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{ \dfrac{1}{2} \cos 2a + \dfrac{1}{4} }$$

в)

$$\sin \beta \cdot \cos(a + \beta)$$

Шаг 1. Тип произведения:

Синус и косинус — используем:

$$\sin A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2} \left[ \sin(A + B) + \sin(A — B) \right]$$

Шаг 2. Обозначим:

• $A = \beta$, $B = a + \beta$

Шаг 3. Скобки:

• $A + B = \beta + (a + \beta) = a + 2\beta$
• $A — B = \beta — (a + \beta) = -a$

Шаг 4. Подставим:

$$= \dfrac{1}{2} \left( \sin(a + 2\beta) + \sin(-a) \right)$$

Шаг 5. Используем свойство:

$$\sin(-a) = -\sin a$$ $$= \dfrac{1}{2} \left( \sin(a + 2\beta) — \sin a \right)$$

Ответ:

$$\boxed{ \dfrac{1}{2} \left( \sin(a + 2\beta) — \sin a \right) }$$

г)

$$\cos\left(a + \dfrac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(a — \dfrac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 1. Тип произведения:

Два косинуса:

$$\cos A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2} \left[ \cos(A — B) + \cos(A + B) \right]$$

Шаг 2. Обозначим:

• $A = a + \dfrac{\pi}{4}$
• $B = a — \dfrac{\pi}{4}$

Шаг 3. Скобки:

• $A — B = \left(a + \dfrac{\pi}{4}\right) — \left(a — \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{2}$
• $A + B = \left(a + \dfrac{\pi}{4}\right) + \left(a — \dfrac{\pi}{4}\right) = 2a$

Шаг 4. Подставим:

$$= \dfrac{1}{2} \left( \cos 2a + \cos \dfrac{\pi}{2} \right)$$

Шаг 5. Значения:

• $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$

$$= \dfrac{1}{2} \cos 2a + \dfrac{1}{2} \cdot 0 = \dfrac{1}{2} \cos 2a$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}\cos 2a}}$$