ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $2 \sin x \cdot \cos 3x + \sin 4x = 0$;

$\frac{1}{2} \cdot (\sin(3x + x) + \sin(x — 3x)) + \sin 4x = 0$;

$\sin 4x + \sin(-2x) + \sin 4x = 0$;

$2 \sin 4x — \sin 2x = 0$;

$4 \sin 2x \cdot \cos 2x — \sin 2x = 0$;

$\sin 2x \cdot (4 \cos 2x — 1) = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 2x = 0$;
$2x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:
$4 \cos 2x — 1 = 0$;
$\cos 2x = \frac{1}{4}$;
$2x = \pm \arccos \frac{1}{4} + \pi n$;
$x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi n}{2}; \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

$\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$;

$\frac{\cos\left(\frac{3x}{2} — \frac{x}{2}\right) — \cos\left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}\right)}{2} = \frac{1}{2}$;

$\cos x — \cos 2x = 1$;

$\cos x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = 1$;

$\cos x — \cos^2 x + (1 — \cos^2 x) = 1$;

$2 \cos^2 x — \cos x = 0$;

$\cos x \cdot (2 \cos x — 1) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:
$2 \cos x — 1 = 0$;
$\cos x = \frac{1}{2}$;
$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

а)

Дано уравнение:

$$2 \sin x \cdot \cos 3x + \sin 4x = 0$$

Шаг 1. Применим формулу произведения:

Формула произведения синуса и косинуса:

$$2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A — B)$$

Положим:
$A = x$,
$B = 3x$

Тогда:

$$2 \sin x \cdot \cos 3x = \sin(x + 3x) + \sin(x — 3x) = \sin 4x + \sin(-2x)$$

Подставляем обратно в уравнение:

$$\sin 4x + \sin(-2x) + \sin 4x = 0$$

Шаг 2. Упрощаем:

$$\sin 4x + \sin 4x + \sin(-2x) = 0 \Rightarrow 2 \sin 4x + \sin(-2x) = 0$$

Зная, что:

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta$$

Получаем:

$$2 \sin 4x — \sin 2x = 0$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону:

$$2 \sin 4x = \sin 2x \Rightarrow 2 \sin 4x — \sin 2x = 0$$

Теперь используем формулу:

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$$

Подставляем:

$$2 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) — \sin 2x = 0 \Rightarrow 4 \sin 2x \cos 2x — \sin 2x = 0$$

Шаг 4. Вынесем $\sin 2x$ за скобку:

$$\sin 2x (4 \cos 2x — 1) = 0$$

Шаг 5. Разделим на два случая:

Случай 1:

$$\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Случай 2:

$$4\cos 2x-1=0\Rightarrow \cos 2x=\frac{1}{4}\Rightarrow 2x=\pm \arccos \left(\frac{1}{4}\right)+2\pi n,$$

$$4 \cos 2x — 1 = 0 \Rightarrow \cos 2x = \frac{1}{4} \Rightarrow 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$$

Итоговый ответ:

$$x = \frac{\pi n}{2};\quad x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$$

(Обратите внимание, что $\frac{\pi n}{2}$ уже покрывает периодичность, поэтому чаще ответ пишут как:)

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{2};\quad x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{\pi n}{2}}$$

б)

Дано уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Применим формулу:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A — B) — \cos(A + B) \right]$$

Пусть:
$A = \frac{x}{2}$,
$B = \frac{3x}{2}$

Тогда:

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{3x}{2} — \frac{x}{2}\right) — \cos\left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}\right) \right]$$

Вычислим:

• $\frac{3x}{2} — \frac{x}{2} = x$
• $\frac{3x}{2} + \frac{x}{2} = 2x$

Подставим:

$$\frac{1}{2} (\cos x — \cos 2x) = \frac{1}{2}$$

Шаг 2. Умножим обе части уравнения на 2:

$$\cos x — \cos 2x = 1$$

Шаг 3. Преобразуем $\cos 2x$

Используем формулу:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = 2 \cos^2 x — 1$$

Подставим в уравнение:

$$\cos x — (2 \cos^2 x — 1) = 1 \Rightarrow \cos x — 2 \cos^2 x + 1 = 1$$

Шаг 4. Упростим уравнение:

$$-2 \cos^2 x + \cos x + 1 = 1 \Rightarrow -2 \cos^2 x + \cos x = 0 \Rightarrow 2 \cos^2 x — \cos x = 0$$

Шаг 5. Вынесем $\cos x$:

$$\cos x (2 \cos x — 1) = 0$$

Шаг 6. Разделим на два случая:

Случай 1:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Случай 2:

$$2 \cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n}}$$