ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$2\sin t\cdot \sin 2t+\cos 3t=\cos t;$$

б)

$$\sin a-2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\frac{1}{2}$$

Доказать тождество:

а)

$$2\sin t\cdot \sin 2t+\cos 3t=\cos t;$$$$2\cdot \frac{\cos (2t-t)-\cos (2t+t)}{2}+\cos 3t=\cos t;$$$$(\cos t-\cos 3t)+\cos 3t=\cos t;$$$$\cos t=\cos t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\sin a-2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\frac{1}{2};$$$$\sin a-2\cdot \frac{\sin ((\frac{a}{2}-{15}^{\circ })+(\frac{a}{2}+{15}^{\circ }))+\sin ((\frac{a}{2}-{15}^{\circ })-(\frac{a}{2}+{15}^{\circ }))}{2}=\frac{1}{2};$$$$\sin a-(\sin a+\sin (-{30}^{\circ }))=\frac{1}{2};$$$$-(-\sin {30}^{\circ })=\frac{1}{2};$$$$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2};$$$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2};$$

Тождество доказано.

а)

Докажем тождество:

$$2\sin t\cdot \sin 2t+\cos 3t=\cos t$$

Шаг 1: Используем формулу произведения синусов:

$$2\sin A\cdot \sin B=\cos (A-B)-\cos (A+B)$$

В нашем случае:
$A=t$, $B=2t$

Тогда:

$$2\sin t\cdot \sin 2t=\cos (t-2t)-\cos (t+2t)=\cos (-t)-\cos (3t)$$

Шаг 2: Учитываем, что косинус — чётная функция:

$$\cos (-t)=\cos t$$

Поэтому:

$$2\sin t\cdot \sin 2t=\cos t-\cos 3t$$

Шаг 3: Подставим в исходное выражение:

$$2\sin t\cdot \sin 2t+\cos 3t=(\cos t-\cos 3t)+\cos 3t$$

Шаг 4: Упростим:

$$\cos t-\cos 3t+\cos 3t=\cos t$$

Шаг 5: Получили верное тождество:

$$\cos t=\cos t$$

Тождество доказано.

б)

Докажем тождество:

$$\sin a-2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\frac{1}{2}$$

Шаг 1: Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$2\sin A\cdot \cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B)$$

В нашем случае:
$A=\frac{a}{2}-{15}^{\circ }$,
$B=\frac{a}{2}+{15}^{\circ }$

Шаг 2: Подставим в формулу:

$$2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\sin ((\frac{a}{2}-{15}^{\circ })+(\frac{a}{2}+{15}^{\circ }))+$$

$$+\sin ((\frac{a}{2}-{15}^{\circ })-(\frac{a}{2}+{15}^{\circ }))$$

Шаг 3: Упростим аргументы:

• $(\frac{a}{2}-{15}^{\circ })+(\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=a$
• $(\frac{a}{2}-{15}^{\circ })-(\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=-{30}^{\circ }$

Тогда:

$$2\sin (\frac{a}{2}-{15}^{\circ })\cdot \cos (\frac{a}{2}+{15}^{\circ })=\sin a+\sin (-{30}^{\circ })$$

Шаг 4: Подставим в левую часть исходного выражения:

$$\sin a-(\sin a+\sin (-{30}^{\circ }))$$

Шаг 5: Раскроем скобки:

$$\sin a-\sin a-\sin (-{30}^{\circ })$$

Шаг 6: Сократим одинаковые слагаемые:

$$0-\sin (-{30}^{\circ })=-\sin (-{30}^{\circ })$$

Шаг 7: Используем, что синус — нечётная функция:

$$\sin (-x)=-\sin x\Rightarrow -\sin (-{30}^{\circ })=\sin {30}^{\circ }$$

Шаг 8: Подставим значение:

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$$

Шаг 9: Получили:

$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Тождество доказано.