ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

По заданной формуле $n$-го члена вычислить первые пять членов последовательности:

а) $y_n = 3 — 2n$;
Первые пять членов:
$y_1 = 3 — 2 \cdot 1 = 3 — 2 = 1$;
$y_2 = 3 — 2 \cdot 2 = 3 — 4 = -1$;
$y_3 = 3 — 2 \cdot 3 = 3 — 6 = -3$;
$y_4 = 3 — 2 \cdot 4 = 3 — 8 = -5$;
$y_5 = 3 — 2 \cdot 5 = 3 — 10 = -7$;
Ответ: $1;\ -1;\ -3;\ -5;\ -7$.

б) $y_n = 2n^2 — n$;
Первые пять членов:
$y_1 = 2 \cdot 1^2 — 1 = 2 \cdot 1 — 1 = 2 — 1 = 1$;
$y_2 = 2 \cdot 2^2 — 2 = 2 \cdot 4 — 2 = 8 — 2 = 6$;
$y_3 = 2 \cdot 3^2 — 3 = 2 \cdot 9 — 3 = 18 — 3 = 15$;
$y_4 = 2 \cdot 4^2 — 4 = 2 \cdot 16 — 4 = 32 — 4 = 28$;
$y_5 = 2 \cdot 5^2 — 5 = 2 \cdot 25 — 5 = 50 — 5 = 45$;
Ответ: $1;\ 6;\ 15;\ 28;\ 45$.

в) $y_n = n^3 — 1$;
Первые пять членов:
$y_1 = 1^3 — 1 = 1 — 1 = 0$;
$y_2 = 2^3 — 1 = 8 — 1 = 7$;
$y_3 = 3^3 — 1 = 27 — 1 = 26$;
$y_4 = 4^3 — 1 = 64 — 1 = 63$;
$y_5 = 5^3 — 1 = 125 — 1 = 124$;
Ответ: $0;\ 7;\ 26;\ 63;\ 124$.

г) $y_n = \dfrac{3n — 1}{2n}$;
Первые пять членов:
$y_1 = \dfrac{3 \cdot 1 — 1}{2 \cdot 1} = \dfrac{3 — 1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$;
$y_2 = \dfrac{3 \cdot 2 — 1}{2 \cdot 2} = \dfrac{6 — 1}{4} = \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}$;
$y_3 = \dfrac{3 \cdot 3 — 1}{2 \cdot 3} = \dfrac{9 — 1}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}$;
$y_4 = \dfrac{3 \cdot 4 — 1}{2 \cdot 4} = \dfrac{12 — 1}{8} = \dfrac{11}{8} = 1\dfrac{3}{8}$;
$y_5 = \dfrac{3 \cdot 5 — 1}{2 \cdot 5} = \dfrac{15 — 1}{10} = \dfrac{14}{10} = \dfrac{7}{5} = 1\dfrac{2}{5}$;
Ответ: $1;\ 1\dfrac{1}{4};\ 1\dfrac{1}{3};\ 1\dfrac{3}{8};\ 1\dfrac{2}{5}$.

По формуле $y_n$ найти первые пять членов последовательности.

а) $y_n = 3 — 2n$

Здесь формула задаёт арифметическую последовательность. Вычислим последовательно:

Первый член:

$$y_1 = 3 — 2 \cdot 1 \quad \text{(подставляем } n = 1 \text{)}$$ $$y_1 = 3 — 2 = 1$$

Второй член:

$$y_2 = 3 — 2 \cdot 2 = 3 — 4 = -1$$

Третий член:

$$y_3 = 3 — 2 \cdot 3 = 3 — 6 = -3$$

Четвёртый член:

$$y_4 = 3 — 2 \cdot 4 = 3 — 8 = -5$$

Пятый член:

$$y_5 = 3 — 2 \cdot 5 = 3 — 10 = -7$$

Ответ:

$$y_1 = 1;\quad y_2 = -1;\quad y_3 = -3;\quad y_4 = -5;\quad y_5 = -7$$

б) $y_n = 2n^2 — n$

Это квадратичная последовательность. Вычислим каждый член, подробно раскрывая степени:

Первый член:

$$y_1 = 2 \cdot 1^2 — 1 = 2 \cdot 1 — 1 = 2 — 1 = 1$$

Второй член:

$$y_2 = 2 \cdot 2^2 — 2 = 2 \cdot 4 — 2 = 8 — 2 = 6$$

Третий член:

$$y_3 = 2 \cdot 3^2 — 3 = 2 \cdot 9 — 3 = 18 — 3 = 15$$

Четвёртый член:

$$y_4 = 2 \cdot 4^2 — 4 = 2 \cdot 16 — 4 = 32 — 4 = 28$$

Пятый член:

$$y_5 = 2 \cdot 5^2 — 5 = 2 \cdot 25 — 5 = 50 — 5 = 45$$

Ответ:

$$y_1 = 1;\quad y_2 = 6;\quad y_3 = 15;\quad y_4 = 28;\quad y_5 = 45$$

в) $y_n = n^3 — 1$

Это кубическая функция. Распишем каждое возведение в третью степень:

Первый член:

$$y_1 = 1^3 — 1 = 1 — 1 = 0$$

Второй член:

$$y_2 = 2^3 — 1 = 8 — 1 = 7$$

Третий член:

$$y_3 = 3^3 — 1 = 27 — 1 = 26$$

Четвёртый член:

$$y_4 = 4^3 — 1 = 64 — 1 = 63$$

Пятый член:

$$y_5 = 5^3 — 1 = 125 — 1 = 124$$

Ответ:

$$y_1 = 0;\quad y_2 = 7;\quad y_3 = 26;\quad y_4 = 63;\quad y_5 = 124$$

г) $y_n = \frac{3n — 1}{2n}$

Это дробно-рациональная функция. Подробно распишем числитель и знаменатель:

Первый член:

$$y_1 = \frac{3 \cdot 1 — 1}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Второй член:

$$y_2 = \frac{3 \cdot 2 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{6 — 1}{4} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$$

Третий член:

$$y_3 = \frac{3 \cdot 3 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{9 — 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$$

Четвёртый член:

$$y_4 = \frac{3 \cdot 4 — 1}{2 \cdot 4} = \frac{12 — 1}{8} = \frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8}$$

Пятый член:

$$y_5 = \frac{3 \cdot 5 — 1}{2 \cdot 5} = \frac{15 — 1}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5} = 1 \frac{2}{5}$$

Ответ:

$$y_1=1;y_2=1\frac{1}{4};y_3=1\frac{1}{3};y_4=1\frac{3}{8};y_5=1\frac{2}{5}$$