ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Запишите первые пять членов последовательности:

а) $y_n = \sin \frac{n\pi}{2} — \ctg \frac{\pi}{4}(2n + 1)$;

б) $y_n = \cos \frac{n\pi}{2} + \tg \frac{\pi}{4}(2n + 1)$;

в) $y_n = n \sin \frac{n\pi}{2} + n^2 \cdot \cos \frac{n\pi}{2}$;

г) $y_n = \sin \frac{n\pi}{4} — n \cdot \cos \frac{n\pi}{4}$

Записать первые пять членов последовательности:

а) $y_n = \sin \frac{n\pi}{2} — \ctg \frac{\pi}{4}(2n + 1)$;

Первые пять членов:

$$y_1 = \sin \frac{\pi}{2} — \ctg \frac{3\pi}{4} = 1 + 1 = 2;$$ $$y_2 = \sin \pi — \ctg \frac{5\pi}{4} = 0 — 1 = -1;$$ $$y_3 = \sin \frac{3\pi}{2} — \ctg \frac{7\pi}{4} = -1 + 1 = 0;$$ $$y_4 = \sin 2\pi — \ctg \frac{9\pi}{4} = 0 — 1 = -1;$$ $$y_5 = \sin \frac{5\pi}{2} — \ctg \frac{11\pi}{4} = 1 + 1 = 2;$$

Ответ: 2; −1; 0; −1; 2.

б) $y_n = \cos \frac{n\pi}{2} + \tg \frac{\pi}{4}(2n + 1)$;

Первые пять членов:

$$y_1 = \cos \frac{\pi}{2} + \tg \frac{3\pi}{4} = 0 — 1 = -1;$$ $$y_2 = \cos \pi + \tg \frac{5\pi}{4} = -1 + 1 = 0;$$ $$y_3 = \cos \frac{3\pi}{2} + \tg \frac{7\pi}{4} = 0 — 1 = -1;$$ $$y_4 = \cos 2\pi + \tg \frac{9\pi}{4} = 1 + 1 = 2;$$ $$y_5 = \cos \frac{5\pi}{2} + \tg \frac{11\pi}{4} = 0 — 1 = -1;$$

Ответ: −1; 0; −1; 2; −1.

в) $y_n = n \sin \frac{n\pi}{2} + n^2 \cdot \cos \frac{n\pi}{2}$;

Первые пять членов:

$$y_1 = 1 \cdot \sin \frac{\pi}{2} + 1^2 \cdot \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1;$$ $$y_2 = 2 \cdot \sin \pi + 4 \cdot \cos \pi = 0 — 4 = -4;$$ $$y_3 = 3 \cdot \sin \frac{3\pi}{2} + 9 \cdot \cos \frac{3\pi}{2} = -3 + 0 = -3;$$ $$y_4 = 4 \cdot \sin 2\pi + 16 \cdot \cos 2\pi = 0 + 16 = 16;$$ $$y_5 = 5 \cdot \sin \frac{5\pi}{2} + 25 \cdot \cos \frac{5\pi}{2} = 5 + 0 = 5;$$

Ответ: 1; −4; −3; 16; 5.

г) $y_n = \sin \frac{n\pi}{4} — n \cdot \cos \frac{n\pi}{4}$;

Первые пять членов:

$$y_1 = \sin \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = 0;$$ $$y_2 = \sin \frac{\pi}{2} — 2 \cdot \cos \frac{\pi}{2} = 1 — 0 = 1;$$ $$y_3 = \sin \frac{3\pi}{4} — 3 \cdot \cos \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} — 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2};$$ $$y_4 = \sin \pi — 4 \cdot \cos \pi = 0 — (-4) = 4;$$ $$y_5 = \sin \frac{5\pi}{4} — 5 \cdot \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} — 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2};$$

Ответ: 0; 1; $2\sqrt{2}$; 4; $2\sqrt{2}$.

а) Формула:

$$y_n = \sin\left( \frac{n\pi}{2} \right) — \ctg\left( \frac{\pi}{4}(2n + 1) \right)$$

Объяснение:

• Функция синуса $\sin\left( \frac{n\pi}{2} \right)$ принимает значения в цикле:
  $\sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1,\ \sin(\pi) = 0,\ \sin\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1,\ \sin(2\pi) = 0,\ \sin\left( \frac{5\pi}{2} \right) = 1$
• Функция котангенса $\ctg(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ → запомним:
  • $\ctg\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1$
  • $\ctg\left( \frac{5\pi}{4} \right) = 1$
  • $\ctg\left( \frac{7\pi}{4} \right) = -1$
  • $\ctg\left( \frac{9\pi}{4} \right) = 1$
  • $\ctg\left( \frac{11\pi}{4} \right) = -1$

Вычисления:

1. $y_1 = \sin\left( \frac{1\pi}{2} \right) — \ctg\left( \frac{\pi}{4}(2 \cdot 1 + 1) \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) — \ctg\left( \frac{3\pi}{4} \right) = 1 — (-1) = 2$
2. $y_2 = \sin(\pi) — \ctg\left( \frac{5\pi}{4} \right) = 0 — 1 = -1$
3. $y_3 = \sin\left( \frac{3\pi}{2} \right) — \ctg\left( \frac{7\pi}{4} \right) = -1 — (-1) = 0$
4. $y_4 = \sin(2\pi) — \ctg\left( \frac{9\pi}{4} \right) = 0 — 1 = -1$
5. $y_5 = \sin\left( \frac{5\pi}{2} \right) — \ctg\left( \frac{11\pi}{4} \right) = 1 — (-1) = 2$

Ответ:

$$\boxed{2;\ -1;\ 0;\ -1;\ 2}$$

б) Формула:

$$y_n = \cos\left( \frac{n\pi}{2} \right) + \tg\left( \frac{\pi}{4}(2n + 1) \right)$$

Объяснение:

• $\cos\left( \frac{n\pi}{2} \right)$ принимает значения:
  $\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0,\ \cos(\pi) = -1,\ \cos\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 0,\ \cos(2\pi) = 1,\ \cos\left( \frac{5\pi}{2} \right) = 0$
• $\tg\left( \frac{(2n+1)\pi}{4} \right)$ значения:
  • $\tg\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1$
  • $\tg\left( \frac{5\pi}{4} \right) = 1$
  • $\tg\left( \frac{7\pi}{4} \right) = -1$
  • $\tg\left( \frac{9\pi}{4} \right) = 1$
  • $\tg\left( \frac{11\pi}{4} \right) = -1$

Вычисления:

1. $y_1 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) + \tg\left( \frac{3\pi}{4} \right) = 0 + (-1) = -1$
2. $y_2 = \cos(\pi) + \tg\left( \frac{5\pi}{4} \right) = -1 + 1 = 0$
3. $y_3 = \cos\left( \frac{3\pi}{2} \right) + \tg\left( \frac{7\pi}{4} \right) = 0 + (-1) = -1$
4. $y_4 = \cos(2\pi) + \tg\left( \frac{9\pi}{4} \right) = 1 + 1 = 2$
5. $y_5 = \cos\left( \frac{5\pi}{2} \right) + \tg\left( \frac{11\pi}{4} \right) = 0 + (-1) = -1$

Ответ:

$$\boxed{-1;\ 0;\ -1;\ 2;\ -1}$$

в) Формула:

$$y_n = n \cdot \sin\left( \frac{n\pi}{2} \right) + n^2 \cdot \cos\left( \frac{n\pi}{2} \right)$$

Вычисления:

1. $y_1 = 1 \cdot \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + 1^2 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$
2. $y_2 = 2 \cdot \sin(\pi) + 4 \cdot \cos(\pi) = 0 + 4 \cdot (-1) = -4$
3. $y_3 = 3 \cdot \sin\left( \frac{3\pi}{2} \right) + 9 \cdot \cos\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -3 + 0 = -3$
4. $y_4 = 4 \cdot \sin(2\pi) + 16 \cdot \cos(2\pi) = 0 + 16 = 16$
5. $y_5 = 5 \cdot \sin\left( \frac{5\pi}{2} \right) + 25 \cdot \cos\left( \frac{5\pi}{2} \right) = 5 + 0 = 5$

Ответ:

$$\boxed{1;\ -4;\ -3;\ 16;\ 5}$$

г) Формула:

$$y_n = \sin\left( \frac{n\pi}{4} \right) — n \cdot \cos\left( \frac{n\pi}{4} \right)$$

Напомним:

• $\sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin\left( \frac{3\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2},\ \cos\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin(\pi) = 0,\ \cos(\pi) = -1$
• $\sin\left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2},\ \cos\left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Вычисления:

$$y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} — 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$

$$y_2 = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) — 2 \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 — 0 = 1$$

$$y_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} — 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

$$y_4 = \sin(\pi) — 4 \cdot \cos(\pi) = 0 — (-4) = 4$$

$$y_5 = -\frac{\sqrt{2}}{2} — 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 0;1;2\sqrt{2};4;2\sqrt{2}}}$$