ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y_n = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{n^3 + 1}$;

б) $y_n = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}$

Записать первые пять членов последовательности:

а) $y_n = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{n^3 + 1}$;

Первые пять членов:

$$y_1 = \dfrac{1}{1^3 + 1} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2};$$ $$y_2 = \dfrac{1 \cdot 2}{2^3 + 1} = \dfrac{2}{8 + 1} = \dfrac{2}{9};$$ $$y_3 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3^3 + 1} = \dfrac{6}{27 + 1} = \dfrac{6}{28} = \dfrac{3}{14};$$ $$y_4 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4^3 + 1} = \dfrac{24}{64 + 1} = \dfrac{24}{65};$$ $$y_5 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{5^3 + 1} = \dfrac{120}{125 + 1} = \dfrac{120}{126} = \dfrac{20}{21};$$

Ответ: $\dfrac{1}{2};\ \dfrac{2}{9};\ \dfrac{3}{14};\ \dfrac{24}{65};\ \dfrac{20}{21}$

б) $y_n = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}$;

Первые пять членов:

$$y_1 = \dfrac{1}{2};$$ $$y_2 = \dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \dfrac{3}{8};$$ $$y_3 = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \dfrac{15}{48} = \dfrac{5}{16};$$ $$y_4 = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} = \dfrac{105}{384} = \dfrac{35}{128};$$ $$y_5 = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10} = \dfrac{945}{3840} = \dfrac{63}{256};$$

Ответ: $\dfrac{1}{2};\ \dfrac{3}{8};\ \dfrac{5}{16};\ \dfrac{35}{128};\ \dfrac{63}{256}$

а) $y_n = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{n^3 + 1}$

В числителе — факториал числа $n$:

$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n = n!$$

В знаменателе — $n^3 + 1$

Находим первые пять членов:

1)

$$y_1 = \frac{1!}{1^3 + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

2)

$$y_2 = \frac{2!}{2^3 + 1} = \frac{2}{8 + 1} = \frac{2}{9}$$

3)

$$y_3 = \frac{3!}{3^3 + 1} = \frac{6}{27 + 1} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$$

4)

$$y_4 = \frac{4!}{4^3 + 1} = \frac{24}{64 + 1} = \frac{24}{65}$$

5)

$$y_5 = \frac{5!}{5^3 + 1} = \frac{120}{125 + 1} = \frac{120}{126} = \frac{60}{63} = \frac{20}{21}$$

Ответ (а):

$$\boxed{\frac{1}{2};\ \frac{2}{9};\ \frac{3}{14};\ \frac{24}{65};\ \frac{20}{21}}$$

б) $y_n = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}$

Это дробь, в которой:

• числитель — произведение первых $n$ нечетных чисел (от 1 до $2n — 1$),
• знаменатель — произведение первых $n$ чётных чисел (от 2 до $2n$).

Считаем первые пять членов вручную:

1)
Числитель: $1$
Знаменатель: $2$

$$y_1 = \frac{1}{2}$$

2)
Числитель: $1 \cdot 3 = 3$
Знаменатель: $2 \cdot 4 = 8$

$$y_2 = \frac{3}{8}$$

3)
Числитель: $1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$
Знаменатель: $2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$

$$y_3 = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$$

4)
Числитель: $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$
Знаменатель: $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384$

$$y_4 = \frac{105}{384} = \frac{35}{128}$$

5)
Числитель: $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$
Знаменатель: $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 = 3840$

$$y_5 = \frac{945}{3840} = \frac{63}{256}$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2};\frac{3}{8};\frac{5}{16};\frac{35}{128};\frac{63}{256}}}$$