ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составить одну из возможных формул $$$n$-го члена последовательности:

а) $-\frac{1}{2};\ \frac{3}{4};\ -\frac{5}{6};\ \frac{7}{8};\ -\frac{9}{10};\ \ldots$

Дана последовательность дробей с чередующимся знаком, числитель которых на единицу меньше знаменателя, а знаменатель — чётное число:

$$-1 \cdot \frac{2 — 1}{2};\quad 1 \cdot \frac{4 — 1}{4};\quad -1 \cdot \frac{6 — 1}{6};\quad 1 \cdot \frac{8 — 1}{8};\quad -1 \cdot \frac{10 — 1}{10};\ \ldots$$

Ответ:

$$a_n = (-1)^n \cdot \frac{2n — 1}{2n}$$

б) $\frac{2}{\sqrt{3}};\ \frac{4}{3};\ \frac{6}{3\sqrt{3}};\ \frac{8}{9};\ \frac{10}{9\sqrt{3}};\ \ldots$

Дана последовательность дробей, числитель — чётное число, знаменатель — натуральная степень числа $\sqrt{3}$:

$$\frac{2}{(\sqrt{3})^1};\quad \frac{4}{(\sqrt{3})^2};\quad \frac{6}{(\sqrt{3})^3};\quad \frac{8}{(\sqrt{3})^4};\quad \frac{10}{(\sqrt{3})^5};\ \ldots$$

Ответ:

$$a_n = \frac{2n}{(\sqrt{3})^n}$$

в) $\frac{3}{4};\ \frac{9}{16};\ \frac{27}{64};\ \frac{81}{256};\ \frac{243}{1024};\ \ldots$

Дана последовательность степеней числа $\frac{3}{4}$:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^1;\quad \left(\frac{3}{4}\right)^2;\quad \left(\frac{3}{4}\right)^3;\quad \left(\frac{3}{4}\right)^4;\quad \left(\frac{3}{4}\right)^5;\ \ldots$$

Ответ:

$$a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$$

г) $\frac{1}{\sqrt{2}};\ \frac{3}{2};\ \frac{5}{2\sqrt{2}};\ \frac{7}{4};\ \frac{9}{4\sqrt{2}};\ \ldots$

Дана последовательность, в которой числитель — нечётное число, знаменатель — степень $\sqrt{2}$:

$$\frac{1}{(\sqrt{2})^1};\quad \frac{3}{(\sqrt{2})^2};\quad \frac{5}{(\sqrt{2})^3};\quad \frac{7}{(\sqrt{2})^4};\quad \frac{9}{(\sqrt{2})^5};\ \ldots$$

Ответ:

$$a_n = \frac{2n — 1}{(\sqrt{2})^n}$$

а)

Последовательность:

$$-\frac{1}{2};\quad \frac{3}{4};\quad -\frac{5}{6};\quad \frac{7}{8};\quad -\frac{9}{10};\ \ldots$$

Анализ:

• Знаки чередуются: минус, плюс, минус, плюс…
  → Это задаётся множителем $(-1)^n$.
• Числитель: 1, 3, 5, 7, 9… → Это нечётные числа, то есть $2n — 1$.
• Знаменатель: 2, 4, 6, 8, 10… → Это чётные числа, то есть $2n$.

Формула:

$$a_n = (-1)^n \cdot \frac{2n — 1}{2n}$$

б)

Последовательность:

$$\frac{2}{\sqrt{3}};\quad \frac{4}{3};\quad \frac{6}{3\sqrt{3}};\quad \frac{8}{9};\quad \frac{10}{9\sqrt{3}};\ \ldots$$

Анализ:

• Числители: 2, 4, 6, 8, 10… → Это чётные числа, то есть $2n$.
• Знаменатели:
  $\sqrt{3} = (\sqrt{3})^1$
  $3 = (\sqrt{3})^2$
  $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$
  $9 = (\sqrt{3})^4$
  $9\sqrt{3} = (\sqrt{3})^5$
  → Это степени числа $\sqrt{3}$, то есть $(\sqrt{3})^n$

Формула:

$$a_n = \frac{2n}{(\sqrt{3})^n}$$

в)

Последовательность:

$$\frac{3}{4};\quad \frac{9}{16};\quad \frac{27}{64};\quad \frac{81}{256};\quad \frac{243}{1024};\ \ldots$$

Анализ:

• Числители: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$
• Знаменатели: $4 = 2^2$, $16 = 4^2$, $64 = 8^2$, $256 = 16^2$, $1024 = 32^2$
  Но замечаем, что:

  $$4=2^2=(2^1{)}^2=2^2,16=4^2=(2^2{)}^2=2^4,64=8^2=(2^3{)}^2=2^6,$$

$$4 = 2^2 = (2^1)^2 = 2^2,\quad 16 = 4^2 = (2^2)^2 = 2^4,\quad 64 = 8^2 = (2^3)^2 = 2^6,\quad 256 = 16^2 = (2^4)^2 = 2^8,\quad 1024 = 32^2 = (2^5)^2 = 2^{10}$$

Общая закономерность: $2^{2n}$

Итак:

$$a_n = \frac{3^n}{4^n} = \left( \frac{3}{4} \right)^n$$Формула:

$$a_n = \left( \frac{3}{4} \right)^n$$

г)

Последовательность:

$$\frac{1}{\sqrt{2}};\quad \frac{3}{2};\quad \frac{5}{2\sqrt{2}};\quad \frac{7}{4};\quad \frac{9}{4\sqrt{2}};\ \ldots$$

Анализ:

• Числитель: 1, 3, 5, 7, 9 → нечётные числа: $2n — 1$
• Знаменатель:
  • $\sqrt{2} = (\sqrt{2})^1$
  • $2 = (\sqrt{2})^2$
  • $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$
  • $4 = (\sqrt{2})^4$
  • $4\sqrt{2} = (\sqrt{2})^5$

  → Знаменатель: $(\sqrt{2})^n$

Формула:

$$a_n=\frac{2n-1}{(\sqrt{2}{)}^n}$$