ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график последовательности:

а) $y_n = 10 — n^3$

б) $y_n = (-1)^n \cdot \sqrt{9n}$

в) $y_n = n^3 — 8$

г) $y_n=4-\sqrt{4n}$

Построить график последовательности:

а) $y_n = 10 — n^3$
Несколько первых членов:

$$\begin{align*} y_1 &= 10 — 1^3 = 10 — 1 = 9, \\ y_2 &= 10 — 2^3 = 10 — 8 = 2, \\ y_3 &= 10 — 3^3 = 10 — 27 = -17. \end{align*}$$

График последовательности:

б) $y_n = (-1)^n \cdot \sqrt{9n}$
Несколько первых членов:

$$\begin{align*} y_1 &= (-1)^1 \cdot \sqrt{9 \cdot 1} = -\sqrt{9} = -3, \\ y_2 &= (-1)^2 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \\ y_3 &= (-1)^3 \cdot \sqrt{9 \cdot 3} = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3}, \\ y_4 &= (-1)^4 \cdot \sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{36} = 6. \end{align*}$$

График последовательности:

в) $y_n = n^3 — 8$
Несколько первых членов:

$$\begin{align*} y_1 &= 1^3 — 8 = 1 — 8 = -7, \\ y_2 &= 2^3 — 8 = 8 — 8 = 0, \\ y_3 &= 3^3 — 8 = 27 — 8 = 19. \end{align*}$$

График последовательности:

г) $y_n = 4 — \sqrt{4n}$
Несколько первых членов:

$$\begin{align*} y_1 &= 4 — \sqrt{4 \cdot 1} = 4 — 2 = 2, \\ y_4 &= 4 — \sqrt{4 \cdot 4} = 4 — \sqrt{16} = 4 — 4 = 0, \\ y_9 &= 4 — \sqrt{4 \cdot 9} = 4 — \sqrt{36} = 4 — 6 = -2. \end{align*}$$

График последовательности:

а) $y_n = 10 — n^3$

Расчёт первых значений:

Анализ: Это убывающая последовательность. При увеличении $n$ значения $y_n$ резко падают вниз, потому что куб $n^3$ растёт быстрее, чем 10.

Как строить:

1. По оси $x$ — значения $n = 1, 2, 3, \ldots$;
2. По оси $y$ — соответствующие значения $y_n$;
3. Используется столбчатый график (stem-график), так как это дискретная последовательность.

б) $y_n = (-1)^n \cdot \sqrt{9n}$

Расчёт:

Анализ: Знаки чередуются, значения по модулю растут (медленно), так как функция $\sqrt{n}$ растёт медленно.

Как строить:

• То же самое: дискретные точки, по очереди положительные и отрицательные значения.

в) $y_n = n^3 — 8$

Расчёт:

Анализ: Быстро возрастающая последовательность. Куб $n^3$ растёт стремительно, и вычитание 8 — лишь небольшая коррекция.

Построение: Как и ранее — дискретный график, точки резко идут вверх.

г) $y_n = 4 — \sqrt{4n}$

Расчёт:

Анализ: Убывающая последовательность. Корень $\sqrt{4n}$ растёт, и его вычитание приводит к уменьшению $y_n$.

Построение: Значения постепенно стремятся вниз, начиная с положительных, переходят через 0 в отрицательные.