ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько членов последовательности не превосходит единицы:

а) $\frac{1}{3125};\ \frac{1}{625};\ \frac{1}{125};\ \ldots$

Дана геометрическая прогрессия:
$b_1 = \frac{1}{3125},\quad b_2 = \frac{1}{625};$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{625} : \frac{1}{3125} = \frac{3125}{625} = 5;$

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{3125} \cdot 5^{n-1} = 5^{-5} \cdot 5^{n-1} = 5^{n-6};$

Число членов, не больших единицы:
$5^{n-6} \leq 1;$
$5^{n-6} \leq 5^0;$
$n — 6 \leq 0;$
$n \leq 6;$

Ответ: 6.

б) $\frac{6}{377};\ \frac{11}{379};\ \frac{16}{381};\ \ldots$

Дана последовательность дробей, числитель которых равен $5n + 1$, а знаменатель $2n + 375$:

$a_n = \frac{5n + 1}{2n + 375};$

Найдём, при каких $n$ выполняется:
$\frac{5n + 1}{2n + 375} \leq 1;$

Решим неравенство:
$5n + 1 \leq 2n + 375;$
$3n \leq 374;$
$n \leq 124 \frac{2}{3};$

Ответ: 124.

в) $\frac{2}{729};\ \frac{2}{243};\ \frac{2}{81};\ \ldots$

Дана геометрическая прогрессия:
$b_1 = \frac{2}{729},\quad b_2 = \frac{2}{243};$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{243} : \frac{2}{729} = 3;$

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{2}{729} \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{-6} \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-7};$

Условие:
$2 \cdot 3^{n-7} \leq 1;$

Решим:
$3^{n-7} \leq \frac{1}{2};$

$\log_3 \left( \frac{1}{2} \right) \approx -0.63;$
$n — 7 \leq -0.63 \Rightarrow n \leq 6.37;$

$n \leq 6$

Ответ: 6.

г) $\frac{2}{219};\ \frac{9}{222};\ \frac{16}{225};\ \ldots$

Числитель: $7n — 5$,
Знаменатель: $3n + 216$

Общая формула:
$a_n = \frac{7n — 5}{3n + 216};$

Условие:
$\frac{7n — 5}{3n + 216} \leq 1$

Решим:
$7n — 5 \leq 3n + 216;$
$4n \leq 221;$
$n \leq 55.25$

Ответ: 55.

а) Последовательность:

$$\frac{1}{3125},\ \frac{1}{625},\ \frac{1}{125},\ \ldots$$

Узнаём, что это геометрическая прогрессия:

• $b_1 = \frac{1}{3125}$
• $b_2 = \frac{1}{625}$
• Находим знаменатель прогрессии:

  $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/625}{1/3125} = \frac{3125}{625} = 5$$

Формула общего члена:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n — 1} = \frac{1}{3125} \cdot 5^{n — 1} = 5^{-5} \cdot 5^{n — 1} = 5^{n — 6}$$

Требуем:

$$5^{n — 6} \leq 1 \Rightarrow 5^{n — 6} \leq 5^0 \Rightarrow n — 6 \leq 0 \Rightarrow n \leq 6$$

Ответ: 6 членов

б) Последовательность:

$$\frac{6}{377},\ \frac{11}{379},\ \frac{16}{381},\ \ldots$$

Строим общую формулу:

• Числитель: $5n + 1$
• Знаменатель: $2n + 375$

$$a_n = \frac{5n + 1}{2n + 375}$$

Требуем:

$$\frac{5n + 1}{2n + 375} \leq 1 \Rightarrow 5n + 1 \leq 2n + 375 \Rightarrow 3n \leq 374 \Rightarrow n \leq \frac{374}{3} \approx 124.67$$

Ответ: 124 члена

в) Последовательность:

$$\frac{2}{729},\ \frac{2}{243},\ \frac{2}{81},\ \ldots$$

Это геометрическая прогрессия:

• $b_1 = \frac{2}{729}$
• $b_2 = \frac{2}{243}$
• $q = \frac{2/243}{2/729} = 3$

Формула общего члена:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n — 1} = \frac{2}{729} \cdot 3^{n — 1} = 2 \cdot 3^{n — 7}$$

Требуем:

$$2 \cdot 3^{n — 7} \leq 1 \Rightarrow 3^{n — 7} \leq \frac{1}{2}$$ $$n — 7 \leq \log_3\left(\frac{1}{2}\right) \Rightarrow n \leq 6.37…$$

Ответ: 6 членов

г) Последовательность:

$$\frac{2}{219},\ \frac{9}{222},\ \frac{16}{225},\ \ldots$$

Строим общую формулу:

• Числитель: $7n — 5$
• Знаменатель: $3n + 216$

$$a_n = \frac{7n — 5}{3n + 216}$$

Требуем:

$$\frac{7n — 5}{3n + 216} \leq 1 \Rightarrow 7n — 5 \leq 3n + 216 \Rightarrow 4n \leq 221 \Rightarrow n \leq 55.25$$

Ответ: 55 членов