ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

По заданной формуле $n$-го члена вычислить первые пять членов последовательности:

а) $y_n = (-1)^n$

Первые пять членов:
$y_1 = (-1)^1 = -1$;
$y_2 = (-1)^2 = 1$;
$y_3 = (-1)^3 = -1$;
$y_4 = (-1)^4 = 1$;
$y_5 = (-1)^5 = -1$;

Ответ:$$$-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ -1$

б) $y_n = \dfrac{(-2)^n}{n^2 + 1}$

Первые пять членов:
$y_1 = \dfrac{(-2)^1}{1^2 + 1} = \dfrac{-2}{1 + 1} = -\dfrac{2}{2} = -1$;
$y_2 = \dfrac{(-2)^2}{2^2 + 1} = \dfrac{4}{4 + 1} = \dfrac{4}{5}$;
$y_3 = \dfrac{(-2)^3}{3^2 + 1} = \dfrac{-8}{9 + 1} = -\dfrac{8}{10} = -\dfrac{4}{5}$;
$y_4 = \dfrac{(-2)^4}{4^2 + 1} = \dfrac{16}{16 + 1} = \dfrac{16}{17}$;
$y_5 = \dfrac{(-2)^5}{5^2 + 1} = \dfrac{-32}{25 + 1} = -\dfrac{32}{26} = -\dfrac{16}{13}$;

Ответ: $$$-1;\ \dfrac{4}{5};\ -\dfrac{4}{5};\ \dfrac{16}{17};\ -\dfrac{16}{13}$

в) $y_n = (-1)^n \cdot \dfrac{1}{10^n}$

Первые пять членов:
$y_1 = (-1)^1 \cdot \dfrac{1}{10^1} = -\dfrac{1}{10}$;
$y_2 = (-1)^2 \cdot \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100}$;
$y_3 = (-1)^3 \cdot \dfrac{1}{10^3} = -\dfrac{1}{1000}$;
$y_4 = (-1)^4 \cdot \dfrac{1}{10^4} = \dfrac{1}{10\,000}$;
$y_5 = (-1)^5 \cdot \dfrac{1}{10^5} = -\dfrac{1}{100\,000}$;

Ответ: $$$-\dfrac{1}{10};\ \dfrac{1}{100};\ -\dfrac{1}{1000};\ \dfrac{1}{10\,000};\ -\dfrac{1}{100\,000}$

г) $y_n = \dfrac{(-1)^n + 2}{3n — 2}$

Первые пять членов:
$y_1 = \dfrac{(-1)^1 + 2}{3 \cdot 1 — 2} = \dfrac{-1 + 2}{3 — 2} = \dfrac{1}{1} = 1$;
$y_2 = \dfrac{(-1)^2 + 2}{3 \cdot 2 — 2} = \dfrac{1 + 2}{6 — 2} = \dfrac{3}{4}$;
$y_3 = \dfrac{(-1)^3 + 2}{3 \cdot 3 — 2} = \dfrac{-1 + 2}{9 — 2} = \dfrac{1}{7}$;
$y_4 = \dfrac{(-1)^4 + 2}{3 \cdot 4 — 2} = \dfrac{1 + 2}{12 — 2} = \dfrac{3}{10}$;
$y_5 = \dfrac{(-1)^5 + 2}{3 \cdot 5 — 2} = \dfrac{-1 + 2}{15 — 2} = \dfrac{1}{13}$;

Ответ: $\mathrm{}$$1;\ \dfrac{3}{4};\ \dfrac{1}{7};\ \dfrac{3}{10};\ \dfrac{1}{13}$

По формуле $y_n$ найти первые пять членов последовательности.

а) $y_n = (-1)^n$

Здесь знак зависит от чётности числа $n$:

• Если $n$ нечётное → $(-1)^n = -1$
• Если $n$ чётное → $(-1)^n = 1$

Вычисляем:

• $y_1 = (-1)^1 = -1$
• $y_2 = (-1)^2 = 1$
• $y_3 = (-1)^3 = -1$
• $y_4 = (-1)^4 = 1$
• $y_5 = (-1)^5 = -1$

Ответ:

$$y_1 = -1;\quad y_2 = 1;\quad y_3 = -1;\quad y_4 = 1;\quad y_5 = -1$$

б) $y_n = \dfrac{(-2)^n}{n^2 + 1}$

Это дробь, где:

• Числитель: степень числа $-2$, зависящая от $n$
• Знаменатель: квадрат $n$ плюс 1

$n = 1$:

$$y_1 = \frac{(-2)^1}{1^2 + 1} = \frac{-2}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$$

$n = 2$:

$$y_2 = \frac{(-2)^2}{2^2 + 1} = \frac{4}{4 + 1} = \frac{4}{5}$$

$n = 3$:

$$y_3 = \frac{(-2)^3}{3^2 + 1} = \frac{-8}{9 + 1} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$$

$n = 4$:

$$y_4 = \frac{(-2)^4}{4^2 + 1} = \frac{16}{16 + 1} = \frac{16}{17}$$

$n = 5$:

$$y_5 = \frac{(-2)^5}{5^2 + 1} = \frac{-32}{25 + 1} = \frac{-32}{26} = -\frac{16}{13}$$

Ответ:

$$y_1 = -1;\quad y_2 = \frac{4}{5};\quad y_3 = -\frac{4}{5};\quad y_4 = \frac{16}{17};\quad y_5 = -\frac{16}{13}$$

в) $y_n = (-1)^n \cdot \dfrac{1}{10^n}$

Это произведение двух частей:

• $(-1)^n$: чередует знаки (как в пункте а)
• $\dfrac{1}{10^n}$: убывает по десятичной степени

$n = 1$:

$$y_1 = (-1)^1 \cdot \frac{1}{10^1} = -1 \cdot \frac{1}{10} = -\frac{1}{10}$$

$n = 2$:

$$y_2 = (-1)^2 \cdot \frac{1}{10^2} = 1 \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{100}$$

$n = 3$:

$$y_3 = (-1)^3 \cdot \frac{1}{10^3} = -1 \cdot \frac{1}{1000} = -\frac{1}{1000}$$

$n = 4$:

$$y_4 = (-1)^4 \cdot \frac{1}{10^4} = 1 \cdot \frac{1}{10\,000} = \frac{1}{10\,000}$$

$n = 5$:

$$y_5 = (-1)^5 \cdot \frac{1}{10^5} = -1 \cdot \frac{1}{100\,000} = -\frac{1}{100\,000}$$

Ответ:

$$y_1 = -\frac{1}{10};\quad y_2 = \frac{1}{100};\quad y_3 = -\frac{1}{1000};\quad y_4 = \frac{1}{10\,000};\quad y_5 = -\frac{1}{100\,000}$$

г) $y_n = \dfrac{(-1)^n + 2}{3n — 2}$

Здесь:

• В числителе: выражение чередует знак $(-1)^n + 2$
• В знаменателе: линейное выражение от $n$

$n = 1$:

$$y_1 = \frac{(-1)^1 + 2}{3 \cdot 1 — 2} = \frac{-1 + 2}{1} = \frac{1}{1} = 1$$

$n = 2$:

$$y_2 = \frac{(-1)^2 + 2}{3 \cdot 2 — 2} = \frac{1 + 2}{6 — 2} = \frac{3}{4}$$

$n = 3$:

$$y_3 = \frac{(-1)^3 + 2}{3 \cdot 3 — 2} = \frac{-1 + 2}{9 — 2} = \frac{1}{7}$$

$n = 4$:

$$y_4 = \frac{(-1)^4 + 2}{3 \cdot 4 — 2} = \frac{1 + 2}{12 — 2} = \frac{3}{10}$$

$n = 5$:

$$y_5 = \frac{(-1)^5 + 2}{3 \cdot 5 — 2} = \frac{-1 + 2}{15 — 2} = \frac{1}{13}$$

Ответ:

$$y_1=1;y_2=\frac{3}{4};y_3=\frac{1}{7};y_4=\frac{3}{10};y_5=\frac{1}{13}$$