ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3}$;

б) $x_n = 6 — \frac{7}{n^2} — \frac{3}{n} — \frac{3}{\sqrt{n}}$;

в) $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} — \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4}$;

г) $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} — 4 + \frac{7}{n^2}$

Вычислить $\lim_{n \to \infty} x_n$, если:

а) $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{7}{n}+\frac{8}{\sqrt{n}}+\frac{9}{n^3})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{8}{\sqrt{n}}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{9}{n^3}=$$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3} = 0 + 0 + 0 = 0;$$

Ответ: 0.

б) $x_n = 6 — \frac{7}{n^2} — \frac{3}{n} — \frac{3}{\sqrt{n}}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(6-\frac{7}{n^2}-\frac{3}{n}-\frac{3}{\sqrt{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }6-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n^2}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{n}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{\sqrt{n}}=$$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( 6 — \frac{7}{n^2} — \frac{3}{n} — \frac{3}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} 6 — \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} — \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} — \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 6 — 0 — 0 — 0 = 6;$$

Ответ: 6.

в) $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} — \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}-\frac{5}{n^3}+\frac{13}{n^4})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n^2}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5}{n^3}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{13}{n^4}=$$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} — \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} — \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4} = 0 + 0 — 0 + 0 = 0;$$

Ответ: 0.

г) $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} — 4 + \frac{7}{n^2}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{n}+\frac{3}{\sqrt{n}}-4+\frac{7}{n^2})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{\sqrt{n}}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }4+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n^2}=$$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} — 4 + \frac{7}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} — \lim_{n \to \infty} 4 + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0 + 0 — 4 + 0 = -4;$$

Ответ: -4.

а) $x_n = \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3}$

Шаг 1. Распишем предел суммы:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3}$$

Шаг 2. По свойствам пределов (константу можно выносить):

• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} = 7 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 7 \cdot 0 = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} = 8 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 8 \cdot 0 = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3} = 9 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} = 9 \cdot 0 = 0$

Шаг 3. Складываем пределы:

$$0 + 0 + 0 = 0$$

Ответ: 0

б) $x_n = 6 — \frac{7}{n^2} — \frac{3}{n} — \frac{3}{\sqrt{n}}$

Шаг 1. Распишем предел по частям:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( 6 — \frac{7}{n^2} — \frac{3}{n} — \frac{3}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} 6 — \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} — \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} — \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}}$$

Шаг 2. Пределы отдельных членов:

• $\lim_{n \to \infty} 6 = 6$ (константа)
• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 7 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 7 \cdot 0 = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 3 \cdot 0 = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 3 \cdot 0 = 0$

Шаг 3. Итог:

$$6 — 0 — 0 — 0 = 6$$

Ответ: 6

в) $x_n = \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} — \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4}$

Шаг 1. Распишем предел:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} — \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} — \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4}$$

Шаг 2. Пределы:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 3 \cdot 0 = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4} = 0$

Шаг 3. Итог:

$$0 + 0 — 0 + 0 = 0$$

Ответ: 0

г) $x_n = \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} — 4 + \frac{7}{n^2}$

Шаг 1. Распишем предел:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} — 4 + \frac{7}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} — \lim_{n \to \infty} 4 + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2}$$

Шаг 2. Пределы:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} 4 = 4$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0$

Шаг 3. Итог:

$$0 + 0 — 4 + 0 = -4$$

Ответ: -4