ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $x_n = \dfrac{5n + 3}{n + 1}$;

б) $x_n = \dfrac{7n — 5}{n + 2}$;

в) $x_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}$;

г) $x_n = \dfrac{2n + 1}{3n — 1}$

Вычислить $\lim_{n \to \infty} x_n$, если:

а) $x_n = \dfrac{5n + 3}{n + 1}$;

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{5n + 3}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{5 + \dfrac{3}{n}}{1 + \dfrac{1}{n}} = \dfrac{5 + 0}{1 + 0} = \dfrac{5}{1} = 5;$$

Ответ: 5.

б) $x_n = \dfrac{7n — 5}{n + 2}$;

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{7n — 5}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{7 — \dfrac{5}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}} = \dfrac{7 — 0}{1 + 0} = \dfrac{7}{1} = 7;$$

Ответ: 7.

в) $x_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}$;

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{3n + 1}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{3 + \dfrac{1}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}} = \dfrac{3 + 0}{1 + 0} = \dfrac{3}{1} = 3;$$

Ответ: 3.

г) $x_n = \dfrac{2n + 1}{3n — 1}$;

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n + 1}{3n — 1} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2 + \dfrac{1}{n}}{3 — \dfrac{1}{n}} = \dfrac{2 + 0}{3 — 0} = \dfrac{2}{3};$$

Ответ: $\dfrac{2}{3}$.

а) $x_n = \dfrac{5n + 3}{n + 1}$

Шаг 1. Разделим числитель и знаменатель на $n$:

$$x_n = \dfrac{5n + 3}{n + 1} = \dfrac{n\left(5 + \frac{3}{n}\right)}{n\left(1 + \frac{1}{n}\right)} = \dfrac{5 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$$

Шаг 2. Переход к пределу:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{5 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$$

Шаг 3. Используем пределы:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \dfrac{5 + 0}{1 + 0} = \dfrac{5}{1} = 5$$

Ответ: 5

б) $x_n = \dfrac{7n — 5}{n + 2}$

Шаг 1. Разделим числитель и знаменатель на $n$:

$$x_n = \dfrac{7n — 5}{n + 2} = \dfrac{n\left(7 — \frac{5}{n}\right)}{n\left(1 + \frac{2}{n}\right)} = \dfrac{7 — \frac{5}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$$

Шаг 2. Переход к пределу:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{7 — \frac{5}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$$

Шаг 3. Используем пределы:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \dfrac{7 — 0}{1 + 0} = \dfrac{7}{1} = 7$$

Ответ: 7

в) $x_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}$

Шаг 1. Разделим числитель и знаменатель на $n$:

$$x_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2} = \dfrac{n\left(3 + \frac{1}{n}\right)}{n\left(1 + \frac{2}{n}\right)} = \dfrac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$$

Шаг 2. Переход к пределу:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$$

Шаг 3. Используем пределы:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \dfrac{3 + 0}{1 + 0} = \dfrac{3}{1} = 3$$

Ответ: 3

г) $x_n = \dfrac{2n + 1}{3n — 1}$

Шаг 1. Разделим числитель и знаменатель на $n$:

$$x_n = \dfrac{2n + 1}{3n — 1} = \dfrac{n\left(2 + \frac{1}{n}\right)}{n\left(3 — \frac{1}{n}\right)} = \dfrac{2 + \frac{1}{n}}{3 — \frac{1}{n}}$$

Шаг 2. Переход к пределу:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2 + \frac{1}{n}}{3 — \frac{1}{n}}$$

Шаг 3. Используем пределы:

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \dfrac{2 + 0}{3 — 0} = \dfrac{2}{3}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{2}{3}}$