ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y_n = 3 \cos \dfrac{2\pi}{n}$;

б) $y_n = \tan\left( (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{4} \right)$;

в) $y_n = 1 — \cos^2 \dfrac{\pi}{n}$;

г) $y_n = \sin \pi n — \cos \pi n$

По заданной формуле $n$-го члена вычислить первые пять членов последовательности:

а) $y_n = 3 \cos \dfrac{2\pi}{n}$;

Первые пять членов:
$y_1 = 3 \cos \dfrac{2\pi}{1} = 3 \cos 2\pi = 3 \cdot 1 = 3$;
$y_2 = 3 \cos \dfrac{2\pi}{2} = 3 \cos \pi = 3 \cdot (-1) = -3$;
$y_3 = 3 \cos \dfrac{2\pi}{3} = -3 \cos \dfrac{\pi}{3} = -3 \cdot \dfrac{1}{2} = -1{,}5$;
$y_4 = 3 \cos \dfrac{2\pi}{4} = 3 \cos \dfrac{\pi}{2} = 3 \cdot 0 = 0$;
$y_5 = 3 \cos \dfrac{2\pi}{5} = 3 \cos 0{,}4\pi$;

Ответ: $3;\ -3;\ -1{,}5;\ 0;\ 3 \cos 0{,}4\pi$

б) $y_n = \tan\left( (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{4} \right)$;

Первые пять членов:
$y_1 = \tan\left( (-1)^1 \cdot \dfrac{\pi}{4} \right) = -\tan \dfrac{\pi}{4} = -1$;
$y_2 = \tan\left( (-1)^2 \cdot \dfrac{\pi}{4} \right) = \tan \dfrac{\pi}{4} = 1$;
$y_3 = \tan\left( (-1)^3 \cdot \dfrac{\pi}{4} \right) = -\tan \dfrac{\pi}{4} = -1$;
$y_4 = \tan\left( (-1)^4 \cdot \dfrac{\pi}{4} \right) = \tan \dfrac{\pi}{4} = 1$;
$y_5 = \tan\left( (-1)^5 \cdot \dfrac{\pi}{4} \right) = -\tan \dfrac{\pi}{4} = -1$;

Ответ: $-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ -1$

в) $y_n = 1 — \cos^2 \dfrac{\pi}{n}$;

Первые пять членов:
$y_1 = 1 — \cos^2 \dfrac{\pi}{1} = \sin^2 \pi = 0$;
$y_2 = 1 — \cos^2 \dfrac{\pi}{2} = \sin^2 \dfrac{\pi}{2} = 1^2 = 1$;
$y_3 = 1 — \cos^2 \dfrac{\pi}{3} = \sin^2 \dfrac{\pi}{3} = \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{3}{4}$;
$y_4 = 1 — \cos^2 \dfrac{\pi}{4} = \sin^2 \dfrac{\pi}{4} = \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \dfrac{1}{2}$;
$y_5 = 1 — \cos^2 \dfrac{\pi}{5} = \sin^2 \dfrac{\pi}{5}$;

Ответ: $0;\ 1;\ \dfrac{3}{4};\ \dfrac{1}{2};\ \sin^2 \dfrac{\pi}{5}$

г) $y_n = \sin \pi n — \cos \pi n$;

Первые пять членов:
$y_1 = \sin \pi — \cos \pi = 0 — (-1) = 1$;
$y_2 = \sin 2\pi — \cos 2\pi = 0 — 1 = -1$;
$y_3 = \sin 3\pi — \cos 3\pi = 0 — (-1) = 1$;
$y_4 = \sin 4\pi — \cos 4\pi = 0 — 1 = -1$;
$y_5 = \sin 5\pi — \cos 5\pi = 0 — (-1) = 1$;

Ответ: $1;-1;1;-1;1$

а) $y_n = 3 \cos\left( \dfrac{2\pi}{n} \right)$

Ищем: $y_1, y_2, y_3, y_4, y_5$

1. $y_1$

$$y_1 = 3 \cos\left( \frac{2\pi}{1} \right) = 3 \cos(2\pi)$$

Свойство:

$$\cos(2\pi) = \cos(360^\circ) = 1$$

Следовательно:

$$y_1 = 3 \cdot 1 = \boxed{3}$$

2. $y_2$

$$y_2 = 3 \cos\left( \frac{2\pi}{2} \right) = 3 \cos(\pi)$$

Свойство:

$$\cos(\pi) = \cos(180^\circ) = -1$$ $$y_2 = 3 \cdot (-1) = \boxed{-3}$$

3. $y_3$

$$y_3 = 3 \cos\left( \frac{2\pi}{3} \right)$$

Разложим угол:

$$\frac{2\pi}{3} = \pi — \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$$

Значение:

$$\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$$ $$y_3 = 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = \boxed{-1.5}$$

4. $y_4$

$$y_4 = 3 \cos\left( \frac{2\pi}{4} \right) = 3 \cos\left( \frac{\pi}{2} \right)$$ $$\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \Rightarrow y_4 = 3 \cdot 0 = \boxed{0}$$

5. $y_5$

$$y_5 = 3 \cos\left( \frac{2\pi}{5} \right) = 3 \cos(0{,}4\pi)$$

Заметим: угол $0{,}4\pi$ не табличный (нет точного значения в виде дроби или корня).

Поэтому оставим в виде:

$$\boxed{y_5 = 3 \cos(0{,}4\pi)}$$

Ответ:

$$\boxed{3;\ -3;\ -1{,}5;\ 0;\ 3 \cos(0{,}4\pi)}$$

б) $y_n = \tg\left( (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{4} \right)$

Свойства, которые используем:

• $\tg\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
• $\tg\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$
• $(-1)^n$ — знак зависит от чётности:
  • чётное $n$: $(-1)^n = +1$
  • нечётное $n$: $(-1)^n = -1$

1. $y_1$

$$n = 1 \Rightarrow (-1)^1 = -1 \Rightarrow y_1 = \tg\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1 \Rightarrow \boxed{y_1 = -1}$$

2. $y_2$

$$(-1)^2 = 1 \Rightarrow y_2 = \tg\left( \frac{\pi}{4} \right) = \boxed{1}$$

3. $y_3$

$$(-1)^3 = -1 \Rightarrow y_3 = \tg\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \boxed{-1}$$

4. $y_4$

$$(-1)^4 = 1 \Rightarrow y_4 = \tg\left( \frac{\pi}{4} \right) = \boxed{1}$$

5. $y_5$

$$(-1)^5 = -1 \Rightarrow y_5 = \tg\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \boxed{-1}$$

Ответ:

$$\boxed{-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ -1}$$

в) $y_n = 1 — \cos^2\left( \dfrac{\pi}{n} \right)$

Используем тригонометрическое тождество:

$$1 — \cos^2 x = \sin^2 x \Rightarrow y_n = \sin^2\left( \frac{\pi}{n} \right)$$

1. $y_1$

$$y_1 = \sin^2(\pi) = (0)^2 = \boxed{0}$$

2. $y_2$

$$y_2 = \sin^2\left( \frac{\pi}{2} \right) = (1)^2 = \boxed{1}$$

3. $y_3$

$$\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin^2\left( \frac{\pi}{3} \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow y_3 = \boxed{\frac{3}{4}}$$

4. $y_4$

$$\sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin^2\left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow y_4 = \boxed{\frac{1}{2}}$$

5. $y_5$

$$y_5 = \sin^2\left( \frac{\pi}{5} \right)$$

Так как угол нетабличный, записываем в виде:

$$\boxed{y_5 = \sin^2\left( \frac{\pi}{5} \right)}$$

Ответ:

$$\boxed{0;\ 1;\ \frac{3}{4};\ \frac{1}{2};\ \sin^2\left( \frac{\pi}{5} \right)}$$

г) $y_n = \sin(\pi n) — \cos(\pi n)$

Анализ выражения:

• $\sin(\pi n) = 0$ для любого целого $n$
• $\cos(\pi n) = (-1)^n$

Значит:

$$y_n = 0 — (-1)^n = (-1)^{n+1}$$

1. $y_1$:

$$(-1)^1 = -1 \Rightarrow y_1 = -(-1) = \boxed{1}$$

2. $y_2$:

$$(-1)^2 = 1 \Rightarrow y_2 = -1 = \boxed{-1}$$

3. $y_3$:

$$(-1)^3 = -1 \Rightarrow y_3 = -(-1) = \boxed{1}$$

4. $y_4$:

$$(-1)^4 = 1 \Rightarrow y_4 = -1 = \boxed{-1}$$

5. $y_5$:

$$(-1)^5 = -1 \Rightarrow y_5 = -(-1) = \boxed{1}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1;-1;1;-1;1}}$$