ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычлить ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$, если:

а) $x_n=\frac{5}{2^n}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5}{2^n}=5\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=5\cdot 0=0;$$

Ответ: 0.

б) $x_n=\frac{1}{2}\cdot 5^{-n}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{2}\cdot 5^{-n})=\frac{1}{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{5}\right)}^n=\frac{1}{2}\cdot 0=0;$$

Ответ: 0.

в) $x_n=7\cdot 3^{-n}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(7\cdot 3^{-n})=7\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=7\cdot 0=0;$$

Ответ: 0.

г) $x_n=\frac{4}{3^{n+1}}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4}{3^{n+1}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4}{3\cdot 3^n}=\frac{4}{3}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{4}{3}\cdot 0=0;$$

Ответ: 0.

а) $x_n={\displaystyle \frac{5}{2^n}}$

Шаг 1. Заметим, что $2^n$ — экспоненциальная функция, которая стремится к бесконечности при $n\to \mathrm{\infty }$:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n=\mathrm{\infty }$$

Шаг 2. Деление константы на бесконечно большое число стремится к нулю:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2^n}=0$$

Шаг 3. Используем свойство: $\lim (c\cdot a_n)=c\cdot \lim a_n$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5}{2^n}=5\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=5\cdot 0=0$$

Ответ: 0

б) $x_n=\frac{1}{2}\cdot 5^{-n}$

Шаг 1. Перепишем: $5^{-n}={\left(\frac{1}{5}\right)}^n$

$$x_n=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^n$$

Шаг 2. Поскольку $0<\frac{1}{5}<1$, то:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{5}\right)}^n=0$$

Шаг 3. Умножаем на постоянный коэффициент:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\frac{1}{2}\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{5}\right)}^n=\frac{1}{2}\cdot 0=0$$

Ответ: 0

в) $x_n=7\cdot 3^{-n}$

Шаг 1. Преобразуем степень: $3^{-n}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$

$$x_n=7\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$

Шаг 2. Предел дроби при $n\to \mathrm{\infty }$, если $0<\frac{1}{3}<1$:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0$$

Шаг 3. Умножаем:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=7\cdot 0=0$$

Ответ: 0

г) $x_n={\displaystyle \frac{4}{3^{n+1}}}$

Шаг 1. Представим $3^{n+1}=3\cdot 3^n$, используя свойства степеней:

$$x_n=\frac{4}{3^{n+1}}=\frac{4}{3\cdot 3^n}$$

Шаг 2. Вынесем множитель:

$$x_n=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{3^n}=\frac{4}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$

Шаг 3. Предел:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\frac{4}{3}\cdot 0=0$$

Ответ: 0