ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить $\lim_{n \to \infty} x_n$, если:

а) $x_n = \frac{2n^2 — 1}{n^2}$;

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 — 1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(2 — \frac{1}{n^2}\right) = 2 — 0 = 2;$$

Ответ: 2.

б) $x_n = \frac{1 + 2n + n^2}{n^2}$;

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2n + n^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n} + 1\right) = 0 + 0 + 1 = 1;$$

Ответ: 1.

в) $x_n = \frac{3 — n^2}{n^2}$;

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3 — n^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n^2} — 1\right) = 0 — 1 = -1;$$

Ответ: $-1$.

г) $x_n = \frac{3n — 4 — 2n^2}{n^2}$;

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n — 4 — 2n^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n} — \frac{4}{n^2} — 2\right) = 0 — 0 — 2 = -2;$$

Ответ: $-2$.

а) $x_n = \dfrac{2n^2 — 1}{n^2}$

Шаг 1. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$$x_n = \frac{2n^2 — 1}{n^2} = \frac{2n^2}{n^2} — \frac{1}{n^2} = 2 — \frac{1}{n^2}$$

Шаг 2. Предел:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 — \frac{1}{n^2}\right) = 2 — \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 — 0 = 2$$

Ответ: 2

б) $x_n = \dfrac{1 + 2n + n^2}{n^2}$

Шаг 1. Разделим каждое слагаемое числителя на $n^2$:

$$x_n = \frac{1}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{n^2}{n^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n} + 1$$

Шаг 2. Найдём предел по частям:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n} + 1 \right)$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} 1 = 1$$ $$\Rightarrow 0 + 0 + 1 = 1$$

Ответ: 1

в) $x_n = \dfrac{3 — n^2}{n^2}$

Шаг 1. Разделим числитель на $n^2$:

$$x_n = \frac{3 — n^2}{n^2} = \frac{3}{n^2} — \frac{n^2}{n^2} = \frac{3}{n^2} — 1$$

Шаг 2. Предел:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n^2} — 1 \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} — \lim_{n \to \infty} 1 = 0 — 1 = -1$$

Ответ: $-1$

г) $x_n = \dfrac{3n — 4 — 2n^2}{n^2}$

Шаг 1. Перепишем числитель:

$$x_n = \frac{3n — 4 — 2n^2}{n^2} = \frac{-2n^2 + 3n — 4}{n^2}$$

Разделим каждое слагаемое на $n^2$:

$$x_n = -2 + \frac{3}{n} — \frac{4}{n^2}$$

Шаг 2. Предел:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( -2 + \frac{3}{n} — \frac{4}{n^2} \right)$$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^2} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} (-2) = -2$$ $$\Rightarrow -2 + 0 — 0 = -2$$

Ответ: $-2$