ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Верно ли утверждение:

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

Приведите примеры, подтверждающие или опровергающие это утверждение.

Верно ли утверждение:

а) Если последовательность имеет предел, то она монотонна;

Рассмотрим последовательность:

$$a_n = \frac{1}{n — 4};$$

Она имеет предел:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n — 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 — \frac{4}{n}} = \frac{0}{1 — 0} = \frac{0}{1} = 0;$$

Однако, не является монотонной:

$$a_3 = \frac{1}{3 — 4} = \frac{1}{-1} = -1;$$ $$a_5 = \frac{1}{5 — 4} = \frac{1}{1} = 1;$$ $$a_6 = \frac{1}{6 — 4} = \frac{1}{2} = 0{,}5;$$ $$a_3 < a_6 < a_5;$$

Ответ: нет.

б) Если последовательность монотонна, то она имеет предел;

Рассмотрим последовательность:

$$a_n = n;$$

Она является монотонной:

$$a_{k+1} — a_k = (k + 1) — k = 1 > 0;$$ $$a_{k+1} > a_k;$$

Однако, не имеет предела:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n — \text{не определено};$$

Ответ: нет.

в) Если последовательность ограничена, то она имеет предел;

Рассмотрим последовательность:

$$a_n = \sin n;$$

Она является ограниченной:

$$-1 \leq \sin n \leq 1;$$ $$a_n \in [-1; 1];$$

Однако, не имеет предела:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (\sin n) — \text{не определено};$$

Ответ: нет.

г) Если последовательность не монотонна, то она не имеет предела;

Рассмотрим последовательность:

$$a_n = \frac{2}{n — 3};$$

Она не является монотонной:

$$a_2 = \frac{2}{2 — 3} = \frac{2}{-1} = -2;$$ $$a_4 = \frac{2}{4 — 3} = \frac{2}{1} = 2;$$ $$a_5 = \frac{2}{5 — 3} = \frac{2}{2} = 1;$$ $$a_2 < a_5 < a_4;$$

Однако, имеет предел:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n — 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}}{1 — \frac{3}{n}} = \frac{0}{1 — 0} = \frac{0}{1} = 0;$$

Ответ: нет.

а) Если последовательность имеет предел, то она монотонна

Проверим на примере:

Пусть $a_n = \dfrac{1}{n — 4}$

Шаг 1. Найдём предел:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n — 4}$$

Разделим числитель и знаменатель на $n$:

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 — \frac{4}{n}} = \frac{0}{1 — 0} = \frac{0}{1} = 0$$

Предел существует.

Шаг 2. Проверим на монотонность:

Посчитаем несколько членов:

• $a_3 = \frac{1}{3 — 4} = \frac{1}{-1} = -1$
• $a_5 = \frac{1}{5 — 4} = \frac{1}{1} = 1$
• $a_6 = \frac{1}{6 — 4} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

Сравнение:

• $a_3 = -1$, $a_6 = 0{,}5$, $a_5 = 1$
• $a_3 < a_6 < a_5$ — значит, порядок нарушается.

Вывод:

Последовательность не монотонна, но предел существует.

Ответ: нет.

б) Если последовательность монотонна, то она имеет предел

Проверим на примере:

Пусть $a_n = n$

Шаг 1. Проверим монотонность:

Разность двух соседних членов:

$$a_{n+1} — a_n = (n + 1) — n = 1 > 0$$

Следовательно, $a_n$ возрастает ⇒ монотонная возрастающая.

Шаг 2. Предел:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n = \infty$$

Такой предел не является числом, следовательно, не существует в $\mathbb{R}$.

Вывод:

Последовательность монотонна, но не имеет конечного предела.

Ответ: нет.

в) Если последовательность ограничена, то она имеет предел

Проверим на примере:

Пусть $a_n = \sin n$

Шаг 1. Покажем, что ограничена:

$$-1 \leq \sin n \leq 1 \quad \Rightarrow \quad a_n \in [-1; 1]$$

Ограниченность доказана.

Шаг 2. Проверим существование предела:

Значения $\sin n$ не приближаются к какому-либо одному числу — они колеблются хаотично.

Например:

• $\sin 1 ≈ 0{,}841$
• $\sin 2 ≈ 0{,}909$
• $\sin 3 ≈ 0{,}141$
• $\sin 4 ≈ -0{,}757$
• $\sin 5 ≈ -0{,}959$
• …

Очевидно, $a_n = \sin n$ не стремится ни к какому числу.

Вывод:

Последовательность ограничена, но предела не имеет.

Ответ: нет.

г) Если последовательность не монотонна, то она не имеет предела

Проверим на примере:

Пусть $a_n = \dfrac{2}{n — 3}$

Шаг 1. Проверим монотонность:

Вычислим несколько членов:

• $a_2 = \frac{2}{2 — 3} = \frac{2}{-1} = -2$
• $a_4 = \frac{2}{4 — 3} = \frac{2}{1} = 2$
• $a_5 = \frac{2}{5 — 3} = \frac{2}{2} = 1$

Сравнение:

• $a_2 < a_5 < a_4$, значит — не монотонна.

Шаг 2. Найдём предел:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n — 3}$$

Разделим числитель и знаменатель на $n$:

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}}{1 — \frac{3}{n}} = \frac{0}{1 — 0} = 0$$

Предел существует.

Вывод:

Последовательность не монотонна, но имеет предел.

Ответ: нет.