ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите предел последовательности ($y_n$):

а) $y_n={\displaystyle \frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}}$

б) $y_n={\displaystyle \frac{(3n+1)(4n-1)}{(n-1{)}^2}}$

в) $y_n={\displaystyle \frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}}$

г) $y_n={\displaystyle \frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2{)}^2}}$

Вычислить предел последовательности $(y_n)$:

а) $y_n = \dfrac{(2n + 1)(n — 3)}{n^2} = \dfrac{2n^2 — 6n + n — 3}{n^2} = \dfrac{2n^2 — 5n — 3}{n^2}$;

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2n^2 — 5n — 3}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(2 — \dfrac{5}{n} — \dfrac{3}{n^2}\right) = 2 — 0 — 0 = 2;$$

Ответ: 2.

б) $y_n = \dfrac{(3n + 1)(4n — 1)}{(n — 1)^2} = \dfrac{12n^2 — 3n + 4n — 1}{(n — 1)^2} = \dfrac{12n^2 + n — 1}{n^2 — 2n + 1}$;

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{12n^2 + n — 1}{n^2 — 2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{12 + \dfrac{1}{n} — \dfrac{1}{n^2}}{1 — \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}} = \dfrac{12 + 0 — 0}{1 — 0 + 0} = \dfrac{12}{1} = 12;$$

Ответ: 12.

в) $y_n = \dfrac{(3n — 2)(2n + 3)}{n^2} = \dfrac{6n^2 + 9n — 4n — 6}{n^2} = \dfrac{6n^2 + 5n — 6}{n^2}$;

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{6n^2 + 5n — 6}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(6 + \dfrac{5}{n} — \dfrac{6}{n^2}\right) = 6 + 0 — 0 = 6;$$

Ответ: 6.

г) $y_n = \dfrac{(1 — 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2} = \dfrac{1 + n — 2n — 2n^2}{(n + 2)^2} = \dfrac{1 — n — 2n^2}{n^2 + 4n + 4}$;

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 — n — 2n^2}{n^2 + 4n + 4} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n^2} — \dfrac{1}{n} — 2}{1 + \dfrac{4}{n} + \dfrac{4}{n^2}} = \dfrac{0 — 0 — 2}{1 + 0 + 0} = -\dfrac{2}{1} = -2;$$

Ответ: -2.

а)

$$y_n = \frac{(2n + 1)(n — 3)}{n^2}$$

Шаг 1. Раскроем скобки в числителе:

$$(2n + 1)(n — 3) = 2n(n — 3) + 1(n — 3) = 2n^2 — 6n + n — 3 = 2n^2 — 5n — 3$$

Шаг 2. Перепишем дробь:

$$y_n = \frac{2n^2 — 5n — 3}{n^2}$$

Шаг 3. Разделим каждое слагаемое числителя на $n^2$:

$$y_n = 2 — \frac{5}{n} — \frac{3}{n^2}$$

Шаг 4. Переходим к пределу:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 — \frac{5}{n} — \frac{3}{n^2}\right) = 2 — 0 — 0 = 2$$

Ответ: 2

б)

$$y_n = \frac{(3n + 1)(4n — 1)}{(n — 1)^2}$$

Шаг 1. Раскроем числитель:

$$(3n + 1)(4n — 1) = 12n^2 — 3n + 4n — 1 = 12n^2 + n — 1$$

Шаг 2. Раскроем знаменатель:

$$(n — 1)^2 = n^2 — 2n + 1$$

Шаг 3. Подставим:

$$y_n = \frac{12n^2 + n — 1}{n^2 — 2n + 1}$$

Шаг 4. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$$y_n = \frac{12 + \frac{1}{n} — \frac{1}{n^2}}{1 — \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$$

Шаг 5. Переходим к пределу:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \frac{12 + 0 — 0}{1 — 0 + 0} = \frac{12}{1} = 12$$

Ответ: 12

в)

$$y_n = \frac{(3n — 2)(2n + 3)}{n^2}$$

Шаг 1. Раскроем скобки:

$$(3n — 2)(2n + 3) = 6n^2 + 9n — 4n — 6 = 6n^2 + 5n — 6$$

Шаг 2. Перепишем дробь:

$$y_n = \frac{6n^2 + 5n — 6}{n^2}$$

Шаг 3. Разделим каждый член числителя на $n^2$:

$$y_n = 6 + \frac{5}{n} — \frac{6}{n^2}$$

Шаг 4. Переходим к пределу:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = 6 + 0 — 0 = 6$$

Ответ: 6

г)

$$y_n = \frac{(1 — 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2}$$

Шаг 1. Раскроем числитель:

$$(1 — 2n)(1 + n) = 1(1 + n) — 2n(1 + n) = 1 + n — 2n — 2n^2 = 1 — n — 2n^2$$

Шаг 2. Раскроем знаменатель:

$$(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4$$

Шаг 3. Подставим:

$$y_n = \frac{1 — n — 2n^2}{n^2 + 4n + 4}$$

Шаг 4. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$$y_n = \frac{\frac{1}{n^2} — \frac{1}{n} — 2}{1 + \frac{4}{n} + \frac{4}{n^2}}$$

Шаг 5. Переходим к пределу:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \frac{0 — 0 — 2}{1 + 0 + 0} = \frac{-2}{1} = -2$$

Ответ: $-2$