ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить предел последовательности $(y_n)$:

а)

$$y_n=\frac{(2n+1)(3n-4)-6n^2+12n}{n+5};$$$$y_n=\frac{6n^2-8n+3n-4-6n^2+12n}{n+5}=\frac{7n-4}{n+5};$$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7n-4}{n+5}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7-\frac{4}{n}}{1+\frac{5}{n}}=\frac{7-0}{1+0}=\frac{7}{1}=7;$$

Ответ: 7.

б)

$$y_n=\frac{n^2(2n+5)-2n^3+5n^2-13}{n(n+1)(n-7)+(1-n)};$$$$y_n=\frac{2n^3+5n^2-2n^3+5n^2-13}{n^3-7n^2+n^2-7n+1-n}=\frac{10n^2-13}{n^3-6n^2-8n+1};$$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{10n^2-13}{n^3-6n^2-8n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{10}{n}-\frac{13}{n^3}}{1-\frac{6}{n}-\frac{8}{n^2}+\frac{1}{n^3}}=\frac{0-0}{1-0-0+0}=\frac{0}{1}=0;$$

Ответ: 0.

в)

$$y_n=\frac{(1-n)(n^2+1)+n^3}{n^2+2n}=\frac{n^2+1-n^3-n+n^3}{n^2+2n}=\frac{n^2-n+1}{n^2+2n};$$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^2-n+1}{n^2+2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}=\frac{1-0+0}{1+0}=\frac{1}{1}=1;$$

Ответ: 1.

г)

$$y_n=\frac{n(7-n^2)+n^3-3n-1}{(n+1)(n+2)+(2n^2+1)};$$$$y_n=\frac{7n-n^3+n^3-3n-1}{n^2+2n+n+2+2n^2+1}=\frac{4n-1}{3n^2+3n+3};$$$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4n-1}{3n^2+3n+3}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{3+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}}=\frac{0-0}{3+0+0}=\frac{0}{3}=0;$$

Ответ: 0.

а)

$$y_n=\frac{(2n+1)(3n-4)-6n^2+12n}{n+5}$$

Шаг 1. Раскроем скобки в числителе:

$$(2n+1)(3n-4)=2n\cdot 3n+2n\cdot (-4)+1\cdot 3n+1\cdot (-4)=$$

$$=6n^2-8n+3n-4=6n^2-5n-4$$

Теперь весь числитель:

$$6n^2-5n-4-6n^2+12n=(6n^2-6n^2)+(-5n+12n)+(-4)=7n-4$$

Шаг 2. Упростим выражение:

$$y_n=\frac{7n-4}{n+5}$$

Шаг 3. Разделим числитель и знаменатель на $n$:

$$y_n=\frac{7-\frac{4}{n}}{1+\frac{5}{n}}$$

Шаг 4. Предел:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\frac{7-0}{1+0}=\frac{7}{1}=7$$

Ответ: 7

б)

$$y_n=\frac{n^2(2n+5)-2n^3+5n^2-13}{n(n+1)(n-7)+(1-n)}$$

Шаг 1. Раскроем числитель:

$$n^2(2n+5)=2n^3+5n^2$$

Подставим:

$$2n^3+5n^2-2n^3+5n^2-13=(2n^3-2n^3)+(5n^2+5n^2)-13=10n^2-13$$

Шаг 2. Раскроем знаменатель:

Сначала:

$$n(n+1)(n-7)=n(n^2-6n-7)=n^3-6n^2-7n$$

Добавим $1-n$:

$$n^3-6n^2-7n+1-n=n^3-6n^2-8n+1$$

Шаг 3. Запишем дробь:

$$y_n=\frac{10n^2-13}{n^3-6n^2-8n+1}$$

Шаг 4. Разделим числитель и знаменатель на $n^3$:

$$y_n=\frac{\frac{10}{n}-\frac{13}{n^3}}{1-\frac{6}{n}-\frac{8}{n^2}+\frac{1}{n^3}}$$

Шаг 5. Предел:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\frac{0-0}{1-0-0+0}=\frac{0}{1}=0$$

Ответ: 0

в)

$$y_n=\frac{(1-n)(n^2+1)+n^3}{n^2+2n}$$

Шаг 1. Раскроем числитель:

$$(1-n)(n^2+1)=1\cdot n^2+1\cdot 1-n\cdot n^2-n\cdot 1=n^2+1-n^3-n$$

Добавим $+n^3$:

$$n^2+1-n^3-n+n^3=n^2-n+1$$

Шаг 2. Упростим дробь:

$$y_n=\frac{n^2-n+1}{n^2+2n}$$

Шаг 3. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$$y_n=\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}$$

Шаг 4. Предел:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\frac{1-0+0}{1+0}=\frac{1}{1}=1$$

Ответ: 1

г)

$$y_n=\frac{n(7-n^2)+n^3-3n-1}{(n+1)(n+2)+(2n^2+1)}$$

Шаг 1. Раскроем числитель:

$$n(7-n^2)=7n-n^3$$

Добавим:

$$7n-n^3+n^3-3n-1=(7n-3n)+(-1)=4n-1$$

Шаг 2. Раскроем знаменатель:

$$(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$$

Добавим:

$$n^2+3n+2+2n^2+1=3n^2+3n+3$$

Шаг 3. Получаем:

$$y_n=\frac{4n-1}{3n^2+3n+3}$$

Шаг 4. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$$y_n=\frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{3+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}}$$

Шаг 5. Предел:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\frac{0-0}{3+0+0}=\frac{0}{3}=0$$

Ответ: 0