ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти её членам:

а) 0, 1, 2, 3, 4, …;

б) -1, -2, -3, -4, -5, …;

в) 5, 6, 7, 8, 9, …;

г) 10, 9, 8, 7, 6, ….

Составить одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:

а) 0; 1; 2; 3; 4; …;

Дана арифметическая прогрессия:
$a_1 = 0, \ a_2 = 1;$
$d = a_2 — a_1 = 1 — 0 = 1;$
$a_n = a_1 + d(n — 1) = 0 + (n — 1) = n — 1;$
Ответ: $a_n = n — 1.$

б) -1; -2; -3; -4; -5; …;

Дана арифметическая прогрессия:
$a_1 = -1, \ a_2 = -2;$
$d = a_2 — a_1 = -2 + 1 = -1;$
$a_n = a_1 + d(n — 1) = -1 — (n — 1) = -n;$
Ответ: $a_n = -n.$

в) 5; 6; 7; 8; 9; …;

Дана арифметическая прогрессия:
$a_1 = 5, \ a_2 = 6;$
$d = a_2 — a_1 = 6 — 5 = 1;$
$a_n = a_1 + d(n — 1) = 5 + (n — 1) = n + 4;$
Ответ: $a_n = n + 4.$

г) 10; 9; 8; 7; 6; …;

Дана арифметическая прогрессия:
$a_1 = 10, \ a_2 = 9;$
$d = a_2 — a_1 = 9 — 10 = -1;$
$a_n = a_1 + d(n — 1) = 10 — (n — 1) = 11 — n;$
Ответ: $a_n=11-n\mathrm{.}$

Составить одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти её членам.

а) Последовательность: 0; 1; 2; 3; 4; …

Шаг 1. Определим первые члены последовательности

• $a_1 = 0$ — первый член
• $a_2 = 1$ — второй член
• и так далее: 2, 3, 4

Шаг 2. Проверим, является ли последовательность арифметической

Разность между соседними членами:

• $a_2 — a_1 = 1 — 0 = 1$
• $a_3 — a_2 = 2 — 1 = 1$
• $a_4 — a_3 = 3 — 2 = 1$
• $a_5 — a_4 = 4 — 3 = 1$

Разность постоянная — значит, последовательность арифметическая.

Шаг 3. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Общая формула:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Где:

• $a_1 = 0$ — первый член
• $d = 1$ — разность

Подставим:

$$a_n = 0 + 1 \cdot (n — 1) = n — 1$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = n — 1}$$

б) Последовательность: -1; -2; -3; -4; -5; …

Шаг 1. Первые члены

• $a_1 = -1$
• $a_2 = -2$
• $a_3 = -3$
• и т.д.

Шаг 2. Проверим разность

• $a_2 — a_1 = -2 — (-1) = -1$
• $a_3 — a_2 = -3 — (-2) = -1$
• $a_4 — a_3 = -4 — (-3) = -1$
• $a_5 — a_4 = -5 — (-4) = -1$

Постоянная разность ⇒ арифметическая прогрессия.

Шаг 3. Формула

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Где:

• $a_1 = -1$
• $d = -1$

Подставим:

$$a_n = -1 + (-1)(n — 1) = -1 — (n — 1) = -n$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = -n}$$

в) Последовательность: 5; 6; 7; 8; 9; …

Шаг 1. Первые члены

• $a_1 = 5$
• $a_2 = 6$

Шаг 2. Проверим разность

• $a_2 — a_1 = 6 — 5 = 1$
• Все последующие также увеличиваются на 1 ⇒ прогрессия.

Шаг 3. Формула

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Где:

• $a_1 = 5$
• $d = 1$

Подставим:

$$a_n = 5 + 1 \cdot (n — 1) = 5 + n — 1 = n + 4$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = n + 4}$$

г) Последовательность: 10; 9; 8; 7; 6; …

Шаг 1. Первые члены

• $a_1 = 10$
• $a_2 = 9$

Шаг 2. Разность

• $a_2 — a_1 = 9 — 10 = -1$
• Последовательность убывает на 1 ⇒ арифметическая прогрессия.

Шаг 3. Формула

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Где:

• $a_1 = 10$
• $d = -1$

Подставим:

$$a_n = 10 + (-1)(n — 1) = 10 — (n — 1) = 11 — n$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = 11 — n}$$

Итоговые ответы:

а) $a_n = n — 1$
б) $a_n = -n$
в) $a_n = n + 4$
г) $a_n = 11 — n$