ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составить одну из возможных формул $n$-го члена последовательности по первым пяти её членам:

а) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \ldots$;

Дана последовательность дробей, числитель которых равен единице, а знаменатель является целой степенью числа два:
$\frac{1}{2^0}; \frac{1}{2^1}; \frac{1}{2^2}; \frac{1}{2^3}; \frac{1}{2^4}; \ldots$;

Ответ: $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$.

б) $\frac{3}{4}; \frac{5}{6}; \frac{7}{8}; \frac{9}{10}; \frac{11}{12}; \ldots$;

Дана последовательность дробей, числитель которых на единицу меньше знаменателя, а знаменатель является чётным числом:
$\frac{4 — 1}{4}; \frac{6 — 1}{6}; \frac{8 — 1}{8}; \frac{10 — 1}{10}; \frac{12 — 1}{12}; \ldots$;

Ответ: $a_n = \frac{2n + 1}{2n + 2}$.

в) $1; \frac{1}{8}; \frac{1}{27}; \frac{1}{64}; \frac{1}{125}; \ldots$;

Дана последовательность дробей, числитель которых равен единице, а знаменатель является кубом натурального числа:
$\frac{1}{1^3}; \frac{1}{2^3}; \frac{1}{3^3}; \frac{1}{4^3}; \frac{1}{5^3}; \ldots$;

Ответ: $a_n = \frac{1}{n^3}$.

г) $\frac{1}{3 \cdot 5}; \frac{1}{5 \cdot 7}; \frac{1}{7 \cdot 9}; \frac{1}{9 \cdot 11}; \frac{1}{11 \cdot 13}; \ldots$;

Дана последовательность дробей, числитель которых равен единице, а знаменатель является произведением двух последовательных нечётных чисел;

Ответ: $a_n = \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)}$.

Составить одну из возможных формул $a_n$ — n-го члена последовательности по первым пяти её членам.

а) Последовательность:

$$1;\ \frac{1}{2};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{8};\ \frac{1}{16};\ \ldots$$

Шаг 1. Представим каждое число как дробь

• $a_1 = \frac{1}{1} = \frac{1}{2^0}$
• $a_2 = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$
• $a_3 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$
• $a_4 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$
• $a_5 = \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4}$

Шаг 2. Установим связь с номером члена $n$

• Показатель степени равен $n — 1$

Вывод:

$$a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = \frac{1}{2^{n-1}}}$$

б) Последовательность:

$$\frac{3}{4};\ \frac{5}{6};\ \frac{7}{8};\ \frac{9}{10};\ \frac{11}{12};\ \ldots$$

Шаг 1. Запишем числители и знаменатели отдельно

• $a_1 = \frac{3}{4} \Rightarrow 3 = 4 — 1$
• $a_2 = \frac{5}{6} \Rightarrow 5 = 6 — 1$
• $a_3 = \frac{7}{8} \Rightarrow 7 = 8 — 1$
• $a_4 = \frac{9}{10} \Rightarrow 9 = 10 — 1$
• $a_5 = \frac{11}{12} \Rightarrow 11 = 12 — 1$

Шаг 2. Посмотрим на знаменатели

• $4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12$ — возрастают на 2 → чётные числа
• Это: $2 \cdot 2, 2 \cdot 3, 2 \cdot 4, 2 \cdot 5, 2 \cdot 6$

То есть:

$$\text{Знаменатель: } 2n + 2 \quad\text{Числитель: } (2n + 2) — 1 = 2n + 1$$

Вывод:

$$a_n = \frac{2n + 1}{2n + 2}$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = \frac{2n + 1}{2n + 2}}$$

в) Последовательность:

$$1;\ \frac{1}{8};\ \frac{1}{27};\ \frac{1}{64};\ \frac{1}{125};\ \ldots$$

Шаг 1. Рассмотрим знаменатели

• $1 = 1^3$
• $8 = 2^3$
• $27 = 3^3$
• $64 = 4^3$
• $125 = 5^3$

Шаг 2. Числитель — всегда 1

Вывод:

$$a_n = \frac{1}{n^3}$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = \frac{1}{n^3}}$$

г) Последовательность:

$$\frac{1}{3 \cdot 5};\ \frac{1}{5 \cdot 7};\ \frac{1}{7 \cdot 9};\ \frac{1}{9 \cdot 11};\ \frac{1}{11 \cdot 13};\ \ldots$$

Шаг 1. Рассмотрим множители в знаменателе

• $3 \cdot 5$
• $5 \cdot 7$
• $7 \cdot 9$
• $9 \cdot 11$
• $11 \cdot 13$

Шаг 2. Проанализируем первую и вторую скобку

• Первая скобка: 3, 5, 7, 9, 11 → $2n + 1$
• Вторая скобка: 5, 7, 9, 11, 13 → на 2 больше: $2n + 3$

То есть:

$$a_n = \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)}$$

Ответ:

$$\boxed{a_n = \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)}}$$

Итоговые формулы:

а) $\boxed{a_n = \frac{1}{2^{n — 1}}}$
б) $\boxed{a_n = \frac{2n + 1}{2n + 2}}$
в) $\boxed{a_n = \frac{1}{n^3}}$
г) $\boxed{a_n = \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)}}$