ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_1 = 3,\ q = \dfrac{1}{3}$;

б) $b_1 = -5,\ q = -0{,}1$;

в) $b_1 = -1,\ q = 0{,}2$;

г) $b_1 = 2,\ q = -\dfrac{1}{3}$

Найти сумму геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = 3,\ q = \dfrac{1}{3}$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 3 : \left(1 — \frac{1}{3}\right) = 3 : \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5;$$

Ответ: 4,5.

б) $b_1 = -5,\ q = -0{,}1$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-5}{1 + 0{,}1} = -\frac{5}{1{,}1} = -\frac{50}{11} = -4\frac{6}{11};$$

Ответ: $-4\frac{6}{11}$.

в) $b_1 = -1,\ q = 0{,}2$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-1}{1 — 0{,}2} = -\frac{1}{0{,}8} = -\frac{10}{8} = -1{,}25;$$

Ответ: $-1{,}25$.

г) $b_1 = 2,\ q = -\dfrac{1}{3}$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 2 : \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 2 : \frac{4}{3} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5;$$

Ответ: 1,5.

Формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}, \quad \text{если } |q| < 1$$

а) $b_1 = 3,\ q = \dfrac{1}{3}$

Шаг 1. Проверим условие применимости формулы:

$$|q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} < 1 \quad \Rightarrow \text{формула применима}$$

Шаг 2. Подставим в формулу:

$$S = \frac{3}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{2}{3}}$$

Шаг 3. Деление на дробь:

$$\frac{3}{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$$ $$\frac{9}{2} = 4{,}5$$

Ответ: 4,5

б) $b_1 = -5,\ q = -0{,}1$

Шаг 1. Проверим условие:

$$|q| = |-0{,}1| = 0{,}1 < 1 \quad \text{→ можно использовать формулу}$$

Шаг 2. Подставим значения:

$$S = \frac{-5}{1 — (-0{,}1)} = \frac{-5}{1 + 0{,}1} = \frac{-5}{1{,}1}$$

Шаг 3. Переведём десятичную дробь в обыкновенную:

$$\frac{-5}{1{,}1} = \frac{-5}{\frac{11}{10}} = -5 \cdot \frac{10}{11} = \frac{-50}{11}$$ $$\frac{-50}{11} = -4 \frac{6}{11}$$

Ответ: $-4\frac{6}{11}$

в) $b_1 = -1,\ q = 0{,}2$

Шаг 1. Проверим условие:

$$|q| = 0{,}2 < 1 \quad \Rightarrow \text{можно считать сумму}$$

Шаг 2. Подставим в формулу:

$$S = \frac{-1}{1 — 0{,}2} = \frac{-1}{0{,}8}$$ $$\frac{-1}{0{,}8} = \frac{-1}{\frac{8}{10}} = -1 \cdot \frac{10}{8} = -\frac{10}{8} = -1{,}25$$

Ответ: $-1{,}25$

г) $b_1 = 2,\ q = -\dfrac{1}{3}$

Шаг 1. Проверим условие:

$$|q| = \left|\frac{-1}{3}\right| = \frac{1}{3} < 1$$

Шаг 2. Подставим в формулу:

$$S = \frac{2}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}}$$ $$\frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ: 1,5