ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите геометрическую прогрессию, если её сумма равна 24, а сумма первых трёх членов равна 21.

Пусть $(b_n)$ – данная геометрическая прогрессия, тогда:
$b_2 = b_1 \cdot q;$
$b_3 = b_1 \cdot q^2;$

1) Сумма геометрической прогрессии равна 24:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 24;$$ $$b_1 = 24(1 — q);$$

2) Сумма первых трех членов равна 21:

$$b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 21;$$ $$b_1(1 + q + q^2) = 21;$$ $$24(1 — q)(1 + q + q^2) = 21;$$ $$24(1 — q^3) = 21 \quad \big| : 3;$$ $$1 — q^3 = \frac{7}{8};$$ $$q^3 = \frac{1}{8};$$ $$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$ $$b_1 = 24(1 — 0{,}5) = 24 \cdot 0{,}5 = 12;$$

Ответ: $b_1 = 12; \, q = 0{,}5.$

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия.
Известно:

• Сумма всей прогрессии:

  $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 24;$$

• Сумма первых трёх членов:

  $$b_1 + b_2 + b_3 = 21.$$

Найти: $b_1$ и $q$.

ШАГ 1: Запишем формулы для членов прогрессии

В геометрической прогрессии:

• $b_1$ — первый член.
• $b_2 = b_1 \cdot q$
• $b_3 = b_1 \cdot q^2$

Сумма первых трёх членов:

$$b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1 + q + q^2)$$

ШАГ 2: Используем сумму всей прогрессии

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии (если $|q| < 1$):

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 24 \Rightarrow b_1 = 24(1 — q)$$

ШАГ 3: Подставим $b_1$ в сумму трёх членов

Мы знаем:

$$b_1(1 + q + q^2) = 21$$

Подставим найденное $b_1 = 24(1 — q)$:

$$24(1 — q)(1 + q + q^2) = 21$$

ШАГ 4: Упростим выражение

Заметим, что:

$$(1 — q)(1 + q + q^2) = 1 — q^3$$

Это стандартная формула:

$$(1 — q)(1 + q + q^2) = 1 — q^3$$

Значит:

$$24(1 — q^3) = 21$$

ШАГ 5: Найдём $q^3$

$$1 — q^3 = \frac{21}{24} = \frac{7}{8} \Rightarrow q^3 = 1 — \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$$

ШАГ 6: Найдём $q$

$$q^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

ШАГ 7: Найдём $b_1$

Ранее:

$$b_1 = 24(1 — q) = 24(1 — 0{,}5) = 24 \cdot 0{,}5 = 12$$

Ответ:

$$\boxed{b_1 = 12; \quad q = 0{,}5}$$