ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна 18, а сумма квадратов её членов равна 162.

Пусть $(b_n)$ – данная геометрическая прогрессия, тогда:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1};$$

Сумма геометрической прогрессии равна 18:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 18;$$ $$b_1 = 18(1 — q);$$

Квадраты членов образуют геометрическую прогрессию:

$$b_n^2 = b_1^2 \cdot q^{2(n-1)};$$ $$b_{n+1}^2 = b_1^2 \cdot q^{2n};$$ $$q’ = \frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = \frac{b_1^2 \cdot q^{2n}}{b_1^2 \cdot q^{2(n-1)}} = \frac{q^{2n}}{q^{2n-2}} = \frac{1}{q^{-2}} = q^2;$$

Сумма квадратов членов прогрессии равна 162:

$$S’ = \frac{b_1^2}{1 — q^2} = 162;$$ $$b_1^2 = 162(1 — q^2);$$ $$18^2(1 — q)^2 = 162(1 — q)(1 + q);$$ $$18(1 — q) = 9(1 + q);$$ $$18 — 18q = 9 + 9q;$$ $$27q = 9;$$ $$q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3};$$ $$b_1 = 18\left(1 — \frac{1}{3}\right) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12;$$

Ответ: $b_1 = 12; \; q = \frac{1}{3}$.

Нужно найти первый член $b_1$ и знаменатель $q$ геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

• сумма прогрессии $S = 18$;
• квадраты членов этой прогрессии образуют новую геометрическую прогрессию;
• сумма квадратов членов прогрессии $S’ = 162$.

Шаг 1: Запишем формулу общего члена геометрической прогрессии

Общий вид члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Шаг 2: Запишем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии

Если $|q| < 1$, то сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

По условию задачи:

$$\frac{b_1}{1 — q} = 18 \Rightarrow b_1 = 18(1 — q) \tag{1}$$

Шаг 3: Распишем квадраты членов прогрессии

Поскольку:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \Rightarrow b_n^2 = b_1^2 \cdot q^{2(n-1)}$$

Это снова геометрическая прогрессия с первым членом $b_1^2$ и знаменателем $q^2$.

Значит, сумму квадратов тоже можно найти по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S’ = \frac{b_1^2}{1 — q^2} = 162 \tag{2}$$

Шаг 4: Подставим $b_1$ из (1) в (2)

Из (1):

$$b_1 = 18(1 — q) \Rightarrow b_1^2 = [18(1 — q)]^2 = 324(1 — q)^2$$

Теперь подставим это в уравнение (2):

$$\frac{324(1 — q)^2}{1 — q^2} = 162$$

Заметим, что:

$$1 — q^2 = (1 — q)(1 + q)$$

Тогда:

$$\frac{324(1 — q)^2}{(1 — q)(1 + q)} = 162 \Rightarrow \frac{324(1 — q)}{1 + q} = 162$$

Шаг 5: Решим уравнение

$$\frac{324(1 — q)}{1 + q} = 162$$

Поделим обе части на 162:

$$\frac{324(1 — q)}{1 + q} = 162 \Rightarrow \frac{2(1 — q)}{1 + q} = 1$$

Теперь решим:

$$2(1 — q) = 1(1 + q) \Rightarrow 2 — 2q = 1 + q \Rightarrow 2 — 1 = 2q + q \Rightarrow 1 = 3q \Rightarrow q = \frac{1}{3}$$

Шаг 6: Найдём $b_1$

Подставим найденное $q = \frac{1}{3}$ в формулу (1):

$$b_1 = 18\left(1 — \frac{1}{3}\right) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle b_1=12;q=\frac{1}{3}}}$$