ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение (при условии, что $x\mathrm{\ne }\frac{\pi n}{2}$):

а) $$$S=\sin x+{\sin }^{2}x+{\sin }^{3}x+\cdots +{\sin }^{n}x+\cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1=\sin x,b_2={\sin }^{2}x$;
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{{\sin }^{2}x}{\sin x}=\sin x$;
$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sin x}{1-\sin x}$;

Ответ: $\frac{\sin x}{1-\sin x}$.

б) $$$S=\cos x-{\cos }^{2}x+{\cos }^{3}x-{\cos }^{4}x+\cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1=\cos x,b_2=-{\cos }^{2}x$;
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-{\cos }^{2}x}{\cos x}=-\cos x$;
$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\cos x}{1+\cos x}$;

Ответ: $\frac{\cos x}{1+\cos x}$.

в) $$$S={\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x+{\cos }^{6}x+{\cos }^{8}x+\cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1={\cos }^{2}x,b_2={\cos }^{4}x$;
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{{\cos }^{4}x}{{\cos }^{2}x}={\cos }^{2}x$;
$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{{\cos }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}={\mathrm{ctg}}^{2}x$;

Ответ: ${\mathrm{ctg}}^{2}x$.

г) $$$S=1-{\sin }^{3}x+{\sin }^{6}x-{\sin }^{9}x+\cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1=1,b_2=-{\sin }^{3}x$;
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-{\sin }^{3}x}{1}=-{\sin }^{3}x$;
$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1+{\sin }^{3}x}$;

Ответ: $\frac{1}{1+{\sin }^{3}x}$.

Упростить выражение (при $x\mathrm{\ne }\frac{\pi n}{2}$)

а) $S=\sin x+{\sin }^{2}x+{\sin }^{3}x+\cdots +{\sin }^{n}x+\cdots$

Шаг 1. Это бесконечная геометрическая прогрессия, где:

• Первый член:
  $b_1=\sin x$
• Второй член:
  $b_2={\sin }^{2}x$

Шаг 2. Находим знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{{\sin }^{2}x}{\sin x}=\sin x$$

Шаг 3. Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q},\text{если }\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$$$$S=\frac{\sin x}{1-\sin x}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{\sin x}{1-\sin x}}}$

б) $S=\cos x-{\cos }^{2}x+{\cos }^{3}x-{\cos }^{4}x+\cdots$

Шаг 1. Это знакопеременная геометрическая прогрессия, где:

• Первый член:
  $b_1=\cos x$
• Второй член:
  $b_2=-{\cos }^{2}x$

Шаг 2. Знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-{\cos }^{2}x}{\cos x}=-\cos x$$

Шаг 3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\cos x}{1-(-\cos x)}=\frac{\cos x}{1+\cos x}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{\cos x}{1+\cos x}}}$

в) $S={\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x+{\cos }^{6}x+\cdots$

Шаг 1. Бесконечная геометрическая прогрессия с положительными членами, где:

• Первый член:
  $b_1={\cos }^{2}x$
• Второй член:
  $b_2={\cos }^{4}x$

Шаг 2. Знаменатель:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{{\cos }^{4}x}{{\cos }^{2}x}={\cos }^{2}x$$

Шаг 3. Сумма:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{{\cos }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}$$

Используем тригонометрическое тождество:

$$1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$$$$S=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}={\cot }^{2}x$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{ctg}}^{2}x}}$

г) $S=1-{\sin }^{3}x+{\sin }^{6}x-{\sin }^{9}x+\cdots$

Шаг 1. Это тоже бесконечная геометрическая прогрессия со знаками чередующимися:

• Первый член:
  $b_1=1$
• Второй член:
  $b_2=-{\sin }^{3}x$

Шаг 2. Знаменатель:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-{\sin }^{3}x}{1}=-{\sin }^{3}x$$

Шаг 3. Сумма:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-(-{\sin }^{3}x)}=\frac{1}{1+{\sin }^{3}x}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{1+{\sin }^{3}x}}}$