ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $S = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots$;

б) $S = 49 + 7 + 1 + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7^2} + \cdots$;

в) $S = \dfrac{3}{2} — 1 + \dfrac{2}{3} — \dfrac{4}{9} + \cdots$;

г) $S = 125 + 25 + 5 + 1 + \cdots$

Вычислить значение:

а) $S = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 2,\ b_2 = 1$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 2 : \left(1 — \frac{1}{2}\right) = 2 : \frac{1}{2} = 2 \cdot 2 = 4;$$

Ответ: 4.

б) $S = 49 + 7 + 1 + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7^2} + \cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 49,\ b_2 = 7$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 49 : \left(1 — \frac{1}{7}\right) = 49 : \frac{6}{7} = 49 \cdot \frac{7}{6} = \frac{343}{6} = 57\frac{1}{6};$$

Ответ: $57\frac{1}{6}$.

в) $S = \dfrac{3}{2} — 1 + \dfrac{2}{3} — \dfrac{4}{9} + \cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = \dfrac{3}{2},\ b_2 = -1$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = -1 : \frac{3}{2} = -\frac{2}{3};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{3}{2} : \left(1 + \frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2} : \frac{5}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{10} = 0{,}9;$$

Ответ: 0,9.

г) $S = 125 + 25 + 5 + 1 + \cdots$;

Дана сумма геометрической прогрессии:
$b_1 = 125,\ b_2 = 25$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 125 : \left(1 — \frac{1}{5}\right) = 125 : \frac{4}{5} = 125 \cdot \frac{5}{4} = 156{,}25;$$

Ответ: 156,25.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}, \quad \text{если } |q| < 1$$

а) $S = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots$

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 2$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = 1$$

Шаг 3. Найдём знаменатель прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4. Проверим, можно ли использовать формулу:

$$|q| = \left|\frac{1}{2}\right| = 0.5 < 1 \quad \Rightarrow \text{можно применить формулу}$$

Шаг 5. Вычислим сумму:

$$S = \frac{2}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$$

Ответ: 4

б) $S = 49 + 7 + 1 + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{49} + \cdots$

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 49$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = 7$$

Шаг 3. Найдём знаменатель:

$$q = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$$

Шаг 4. Проверка:

$$|q| = \frac{1}{7} < 1$$

Шаг 5. Вычислим сумму:

$$S = \frac{49}{1 — \frac{1}{7}} = \frac{49}{\frac{6}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{6} = \frac{343}{6}$$ $$\frac{343}{6} = 57 \frac{1}{6}$$

Ответ: $57\frac{1}{6}$

в) $S = \dfrac{3}{2} — 1 + \dfrac{2}{3} — \dfrac{4}{9} + \cdots$

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = \frac{3}{2}$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = -1$$

Шаг 3. Знаменатель:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}$$

Шаг 4. Проверка:

$$|q| = \left| -\frac{2}{3} \right| = \frac{2}{3} < 1$$

Шаг 5. Считаем сумму:

$$S = \frac{\frac{3}{2}}{1 — (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{10} = 0.9$$

Ответ: 0,9

г) $S = 125 + 25 + 5 + 1 + \cdots$

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = 125$$

Шаг 2. Второй член:

$$b_2 = 25$$

Шаг 3. Найдём $q$:

$$q = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}$$

Шаг 4. Проверка:

$$|q| = \frac{1}{5} < 1$$

Шаг 5. Считаем сумму:

$$S = \frac{125}{1 — \frac{1}{5}} = \frac{125}{\frac{4}{5}} = 125 \cdot \frac{5}{4} = \frac{625}{4} = 156.25$$

Ответ: 156,25