ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии (bn), если:

а) $b_1 = -2,\ b_2 = 1$;

б) $b_1 = 3,\ b_2 = \frac{1}{3}$;

в) $b_1 = 7,\ b_2 = -1$;

г) $b_1 = -20,\ b_2 = 4$

Найти знаменатель и сумму геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = -2,\ b_2 = 1$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = -2 : \left(1 + \frac{1}{2}\right) = -2 : \frac{3}{2} = -2 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3};$$

Ответ: $q = -\frac{1}{2};\ S = -1\frac{1}{3}$

б) $b_1 = 3,\ b_2 = \frac{1}{3}$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{3} : 3 = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 3 : \left(1 — \frac{1}{9}\right) = 3 : \frac{8}{9} = 3 \cdot \frac{9}{8} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8};$$

Ответ: $q = \frac{1}{9};\ S = 3\frac{3}{8}$

в) $b_1 = 7,\ b_2 = -1$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 7 : \left(1 + \frac{1}{7}\right) = 7 : \frac{8}{7} = 7 \cdot \frac{7}{8} = \frac{49}{8} = 6\frac{1}{8};$$

Ответ: $q = -\frac{1}{7};\ S = 6\frac{1}{8}$

г) $b_1 = -20,\ b_2 = 4$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{-20} = -\frac{1}{5};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = -20 : \left(1 + \frac{1}{5}\right) = -20 : \frac{6}{5} = -20 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{50}{3} = -16\frac{2}{3};$$

Ответ: $q = -\frac{1}{5};\ S = -16\frac{2}{3}$

Формулы:

Знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1}$$

Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии (если $|q| < 1$):

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

а) $b_1 = -2,\ b_2 = 1$

Шаг 1. Найдём знаменатель:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 2. Проверка условия сходимости:

$$|q| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} < 1 \quad \Rightarrow \text{сумма существует}$$

Шаг 3. Найдём сумму:

$$S = \frac{-2}{1 — (-\frac{1}{2})} = \frac{-2}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-2}{\frac{3}{2}} = -2 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$$

Шаг 4. Перевод в смешанное число:

$$-\frac{4}{3} = -1 \frac{1}{3}$$

Ответ:

$$q = -\frac{1}{2};\quad S = -1 \frac{1}{3}$$

б) $b_1 = 3,\ b_2 = \frac{1}{3}$

Шаг 1. Знаменатель:

$$q = \frac{\frac{1}{3}}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$$

Шаг 2. Проверка:

$$|q| = \frac{1}{9} < 1 \quad \Rightarrow \text{сумма существует}$$

Шаг 3. Сумма:

$$S = \frac{3}{1 — \frac{1}{9}} = \frac{3}{\frac{8}{9}} = 3 \cdot \frac{9}{8} = \frac{27}{8}$$

Шаг 4. В виде смешанного числа:

$$\frac{27}{8} = 3 \frac{3}{8}$$

Ответ:

$$q = \frac{1}{9};\quad S = 3 \frac{3}{8}$$

в) $b_1 = 7,\ b_2 = -1$

Шаг 1. Знаменатель:

$$q = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$$

Шаг 2. Проверка:

$$|q| = \frac{1}{7} < 1 \Rightarrow \text{сумма существует}$$

Шаг 3. Сумма:

$$S = \frac{7}{1 — (-\frac{1}{7})} = \frac{7}{1 + \frac{1}{7}} = \frac{7}{\frac{8}{7}} = 7 \cdot \frac{7}{8} = \frac{49}{8}$$

Шаг 4. Смешанное число:

$$\frac{49}{8} = 6 \frac{1}{8}$$

Ответ:

$$q = -\frac{1}{7};\quad S = 6 \frac{1}{8}$$

г) $b_1 = -20,\ b_2 = 4$

Шаг 1. Знаменатель:

$$q = \frac{4}{-20} = -\frac{1}{5}$$

Шаг 2. Проверка:

$$|q| = \frac{1}{5} < 1 \Rightarrow \text{сумма существует}$$

Шаг 3. Сумма:

$$S = \frac{-20}{1 — (-\frac{1}{5})} = \frac{-20}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-20}{\frac{6}{5}} = -20 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{100}{6} = -\frac{50}{3}$$

Шаг 4. Смешанное число:

$$-\frac{50}{3} = -16 \frac{2}{3}$$

Ответ:

$$q=-\frac{1}{5};S=-16\frac{2}{3}$$