ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $S = 2,\ b_1 = 3$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q};$$ $$1 — q = \frac{b_1}{S};$$ $$q = 1 — \frac{b_1}{S} = 1 — \frac{3}{2} = 1 — 1{,}5 = -0{,}5;$$

Ответ: $-0{,}5$

б) $S = -10,\ b_1 = -5$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q};$$ $$1 — q = \frac{b_1}{S};$$ $$q = 1 — \frac{b_1}{S} = 1 — \frac{-5}{-10} = 1 — 0{,}5 = 0{,}5;$$

Ответ: $0{,}5$

в) $S = -\frac{9}{4},\ b_1 = -3$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q};$$ $$1 — q = \frac{b_1}{S};$$ $$q = 1 — \frac{b_1}{S} = 1 — (-3) \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) = 1 — \frac{4}{3} = -\frac{1}{3};$$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

г) $S = 1{,}5,\ b_1 = 2$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q};$$ $$1 — q = \frac{b_1}{S};$$ $$q = 1 — \frac{b_1}{S} = 1 — \frac{2}{1{,}5} = 1 — \frac{4}{3} = -\frac{1}{3};$$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

Формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}, \quad \text{если } |q| < 1$$

Нам известны значения $S$ и $b_1$, нужно найти знаменатель $q$.

а) $S = 2,\ b_1 = 3$

Шаг 1. Подставим в формулу:

$$2 = \frac{3}{1 — q}$$

Шаг 2. Умножим обе части на $1 — q$:

$$2(1 — q) = 3$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$2 — 2q = 3$$

Шаг 4. Перенесём:

$$-2q = 3 — 2 = 1$$

Шаг 5. Разделим:

$$q = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $q = -0{,}5$

б) $S = -10,\ b_1 = -5$

Шаг 1. Формула:

$$-10 = \frac{-5}{1 — q}$$

Шаг 2. Умножим обе части:

$$-10(1 — q) = -5$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$-10 + 10q = -5$$

Шаг 4. Переносим:

$$10q = -5 + 10 = 5$$

Шаг 5. Разделим:

$$q = \frac{5}{10} = 0{,}5$$

Ответ: $q = 0{,}5$

в) $S = -\frac{9}{4},\ b_1 = -3$

Шаг 1. Формула:

$$-\frac{9}{4} = \frac{-3}{1 — q}$$

Шаг 2. Умножим обе части на $1 — q$:

$$-\frac{9}{4}(1 — q) = -3$$

Шаг 3. Умножим обе части на 4:

$$-9(1 — q) = -12$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$-9 + 9q = -12$$

Шаг 5. Переносим:

$$9q = -3 \quad \Rightarrow \quad q = -\frac{1}{3}$$

Ответ: $q = -\frac{1}{3}$

г) $S = 1{,}5,\ b_1 = 2$

Шаг 1. Переведём десятичную дробь:

$$S = \frac{3}{2}$$

Шаг 2. Формула:

$$\frac{3}{2} = \frac{2}{1 — q}$$

Шаг 3. Умножим обе части:

$$\frac{3}{2}(1 — q) = 2$$

Шаг 4. Умножим обе части на 2:

$$3(1 — q) = 4$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$3 — 3q = 4 \quad \Rightarrow \quad -3q = 1 \quad \Rightarrow \quad q = -\frac{1}{3}$$

Ответ: $q=-\frac{1}{3}$