ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти $n$-ый член геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $S = 15, \; q = -\frac{1}{3}, \; n = 3$

Первый член прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q};$$ $$b_1 = S(1 — q) = 15\left(1 + \frac{1}{3}\right) = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20;$$

Формула $n$-го члена:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 20 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1};$$ $$b_3 = 20 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9};$$

Ответ: $2\frac{2}{9}$

б) $S = -20, \; b_1 = -16, \; n = 4$

Знаменатель прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q};$$ $$1 — q = \frac{b_1}{S};$$ $$q = 1 — \frac{b_1}{S} = 1 — \frac{-16}{-20} = 1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5};$$

Формула $n$-го члена:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -16 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1};$$ $$b_4 = -16 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = -\frac{16}{125} = -0{,}128;$$

Ответ: $-0{,}128$

в) $S = 20, \; b_1 = 22, \; n = 4$

Знаменатель прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q};$$ $$1 — q = \frac{b_1}{S};$$ $$q = 1 — \frac{b_1}{S} = 1 — \frac{22}{20} = 1 — 1{,}1 = -0{,}1;$$

Формула $n$-го члена:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 22 \cdot (-0{,}1)^{n-1};$$ $$b_4 = 22 \cdot (-0{,}1)^3 = 22 \cdot (-0{,}001) = -0{,}022;$$

Ответ: $-0{,}022$

г) $S = 21, \; q = \frac{2}{3}, \; n = 3$

Первый член прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q};$$ $$b_1 = S(1 — q) = 21\left(1 — \frac{2}{3}\right) = 21 \cdot \frac{1}{3} = 7;$$

Формула $n$-го члена:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1};$$ $$b_3 = 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 7 \cdot \frac{4}{9} = \frac{28}{9} = 3\frac{1}{9};$$

Ответ: $3\frac{1}{9}$

Формулы, которые будем использовать:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}, \quad \text{если } |q| < 1$$

Первый член:

$$b_1 = S(1 — q)$$

Формула n-го члена:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

а) Дано:

• $S = 15$
• $q = -\dfrac{1}{3}$
• $n = 3$

Шаг 1: Найдём первый член $b_1$:

$$b_1 = S(1 — q) = 15 \left(1 — (-\frac{1}{3})\right) = 15 \left(1 + \frac{1}{3}\right)$$ $$1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}, \quad \Rightarrow b_1 = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20$$

Шаг 2: Найдём $b_3$:

$$b_3 = b_1 \cdot q^{3 — 1} = 20 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 20 \cdot \frac{1}{9} = \frac{20}{9}$$ $$\frac{20}{9} = 2 \frac{2}{9}$$

Ответ: $\boxed{2 \dfrac{2}{9}}$

б) Дано:

• $S = -20$
• $b_1 = -16$
• $n = 4$

Шаг 1: Найдём знаменатель $q$:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} \quad \Rightarrow \quad 1 — q = \frac{b_1}{S}$$ $$1 — q = \frac{-16}{-20} = \frac{4}{5} \Rightarrow q = 1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$

Шаг 2: Найдём $b_4$:

$$b_4 = b_1 \cdot q^{4 — 1} = -16 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = -16 \cdot \frac{1}{125} = -\frac{16}{125}$$ $$-\frac{16}{125} = -0{,}128$$

Ответ: $\boxed{-0{,}128}$

в) Дано:

• $S = 20$
• $b_1 = 22$
• $n = 4$

Шаг 1: Найдём $q$:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} \Rightarrow 1 — q = \frac{b_1}{S} = \frac{22}{20} = 1{,}1$$ $$q = 1 — 1{,}1 = -0{,}1$$

Шаг 2: Найдём $b_4$:

$$b_4 = b_1 \cdot q^{4 — 1} = 22 \cdot (-0{,}1)^3 = 22 \cdot (-0{,}001) = -0{,}022$$

Ответ: $\boxed{-0{,}022}$

г) Дано:

• $S = 21$
• $q = \frac{2}{3}$
• $n = 3$

Шаг 1: Найдём $b_1$:

$$b_1 = S(1 — q) = 21 \cdot \left(1 — \frac{2}{3}\right) = 21 \cdot \frac{1}{3} = 7$$

Шаг 2: Найдём $b_3$:

$$b_3 = b_1 \cdot q^{3 — 1} = 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 7 \cdot \frac{4}{9} = \frac{28}{9}$$ $$\frac{28}{9} = 3 \frac{1}{9}$$

Ответ: $\boxed{3 \dfrac{1}{9}}$

Ответы:

а) $2 \dfrac{2}{9}$

б) $-0{,}128$

в) $-0{,}022$

г) $3{\displaystyle \frac{1}{9}}$